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Tendo em vista essas informações e os conhecimentos acerca das trigonométricas inversas e suas derivadas, analise as afirmações a seguir:
I. Dada \(f(x)=\operatorname{sen}^{-1} x\), tem se que \(f^{\prime}(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\).
II. \(\operatorname{sen}^{-1} x \neq \operatorname{arcsen} x\).
III. Todas as funções inversas são funções trigonométricas.
IV. Dada \(f(x)=\cos ^{-1} x\) tem-se que \(f^{\prime}(x)=\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}\)

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Vamos analisar cada uma das afirmações: I. Dada \(f(x)=\operatorname{sen}^{-1} x\), tem-se que \(f^{\prime}(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\). Verdadeiro, essa é a derivada correta da função arco seno. II. \(\operatorname{sen}^{-1} x \neq \operatorname{arcsen} x\). Falso, \(\operatorname{sen}^{-1} x\) e \(\operatorname{arcsen} x\) são notações diferentes para a mesma função, ou seja, ambas representam a função arco seno. III. Todas as funções inversas são funções trigonométricas. Falso, nem todas as funções inversas são trigonométricas. Existem funções inversas que não têm relação com funções trigonométricas. IV. Dada \(f(x)=\cos^{-1} x\), tem-se que \(f^{\prime}(x)=\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}\). Verdadeiro, essa é a derivada correta da função arco cosseno. Agora, vamos resumir os resultados: - I: Verdadeiro - II: Falso - III: Falso - IV: Verdadeiro As afirmações verdadeiras são I e IV. Portanto, a alternativa correta que contém todos os itens verdadeiros é: não há uma alternativa correta listada, pois apenas I e IV são verdadeiros. Se você tiver as opções, por favor, forneça-as para que eu possa ajudá-lo a identificar a correta.

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Uma determinada partícula tem sua função horária do espaço descrita da seguinte forma \(\mathrm{s}(\mathrm{t})=\ln (\mathrm{x}+2)+\mathrm{senx}\). O valor numérico de sua velocidade varia ao longo do tempo, assim como o valor de sua aceleração. Para alguns pesquisadores, é importante o estudo do comportamento dessa partícula, porém, apenas com o conhecendo da lei horária não se obtém muita informação. Considerando essas informações e os conteúdos estudados sobre derivada de funções logarítmicas, é correto afirmar que os pesquisadores mencionados resolvem mensurar suas derivadas porque:
a) a área embaixo da curva da função fornecerá a velocidade.
1) a derivada \(f^{\prime}(x)=3 \cos x+1 /(x+2)\) indica a lei horária da velocidade dessa partícula.
2) a derivada \(f^{\prime}(x)=\cos x+1 /\square\) indica a lei horária da aceleração dessa partícula.
3) é possível mensurar a função primitiva que gerou a derivada.
4) a derivada \(f^{\prime}(x)=\cos x+1 /(x+2)\) indica a lei horária da velocidade dessa partícula.

Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre a regra da derivada do produto de duas funções, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) Em todos os casos de derivação do produto de funções é necessário utilizar a regra da derivada do produto de duas funções.
II. ( ) Sendo \(f(x)=e^{x}\) e \(g(x)=x\), a derivada de \(h(x)=f(x) g(x)\) é \(h^{\prime}(x)=\left(e^{x}\right)(1+x)\).
III. ( ) Sendo \(i(x)=\operatorname{sen}(x)\) e \(j(x)=\cos (x)\), a derivada de \(k(x)=i(x) j(x)\) no ponto \((0,0)\) é \(k(0)=0\).
IV. ( ) \(f(x) g(x)\) possui derivada igual a \(f^{\prime}(x) g(x)+f(x) g^{\prime}(x)\).

Suponha que um objeto se move seguindo a lei horária \(s(t)=\operatorname{sen}(8 t)+t-2\). Somado a isso, sabe-se que a velocidade é determinada pela derivada de uma equação horária, e a aceleração é determinada pela derivada da função velocidade. De acordo essas informações e com seus conhecimentos de derivação, analise as afirmativas a seguir.
I. A função que descreve a velocidade dessa partícula é dada por \(v(t)=8 \cos (8 t)+1\).
II. É impossível determinar a derivada da velocidade.
III. A função que descreve a aceleração dessa partícula é \(a(t)=-64\operatorname{sen}(8t)\).
IV. A função velocidade é uma função polinomial.

Considerando essas informações e os conteúdos estudados sobre derivada de funções trigonométricas, associe as funções a seguir com suas respectivas derivadas.
1) \(v=\cos x\)
2) \(u=x^{2} \cos x\)
3) \(w=- \operatorname{sen} x\)
4) \(y=x^{2} \operatorname{sen} x\)
() -\operatorname{sen} x
() - \cos x
() \(x^{2} \cos x+2 x \operatorname{sen} x\)
() \(-x^{2} \operatorname{sen} x+2 x \cos x\)

Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
a) 1, 3, 2, 4.
b) 3, 2, 4, 1.
c) 1, 4, 2, 3.
d) 3, 4, 2, 1.
e) 2, 3, 1, 4.

Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre o significado da taxa de variação de uma função, é correto afirmar que:
A nenhuma das funções possui taxa de variação em x=0.
B para x=0, a taxa de variação de f(x) é nula, assim como a de g(x).
C para x>0, a taxa de variação de f(x) será sempre positiva, e a de g(x) também.
D para x<0, a taxa de variação de f(x) sempre será positiva, e a de g(x) sempre será negativa.
E para x>0, a taxa de variação de f(x) sempre será positiva, e a de g(x) sempre será negativa.

Acerca dessa regra de derivação, e considerando os conteúdos estudados, analise as afirmativas a seguir:
I. Essa regra considera funções racionais.
II. Essa regra não considera funções algébricas.
III. Essa regra não considera funções constantes, pois a derivada dessa função é igual a zero.
IV. A derivada do quociente entre duas funções é definida por \(\left[f(x) / g(x)\right]^{\prime}=[f^{\prime}(x) g(x)-f(x) g^{\prime}(x)] /[g(x)] 2\)

Com base nessas informações e nos seus conhecimentos acerca das derivadas hiperbólicas, é correto afirmar que a derivada da função \(f(x)=\cosh \sqrt{x}\) é:
\(f^{\prime}(x)=\frac{(\operatorname{senh} \sqrt{x})}{(2 \sqrt{x})}\).
\(f^{\prime}(x)=\frac{(\operatorname{senh} \sqrt{x})}{\sqrt{x}}\).
\(f^{\prime}(x)=\frac{(-\operatorname{senh} \sqrt{x})}{(2 \sqrt{x})}\).
\(f^{\prime}(x)=\frac{(\operatorname{senh} \sqrt{x})}{2}\).
\(f^{\prime}(x)=\frac{(\cosh \sqrt{x})}{(2 \sqrt{x})}\)

Com base nessas informações e nos seus conhecimentos acerca da Regra da Cadeia, faça as associações a seguir:
1) \(f(x)=\cos (2 x)\).
2) \(f(x)=3 x^{2}+1\).
3) Regra da Cadeia.
4) \(f(x)=(x+1)^{2}\).
() É útil na derivação de funções compostas.
() É uma função composta que pode ser derivada pela Regra da Cadeia, mas também pela regra do produto.
() É uma função composta que pode ser diferenciável pela Regra da Cadeia.
() Não é uma função composta, portanto, não há necessidade da aplicação da Regra da Cadeia.