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Com base nessas informações e nos seus conhecimentos acerca das derivadas hiperbólicas, é correto afirmar que a derivada da função \(f(x)=\cosh \sqrt{x}\) é:
\(f^{\prime}(x)=\frac{(\operatorname{senh} \sqrt{x})}{(2 \sqrt{x})}\).
\(f^{\prime}(x)=\frac{(\operatorname{senh} \sqrt{x})}{\sqrt{x}}\).
\(f^{\prime}(x)=\frac{(-\operatorname{senh} \sqrt{x})}{(2 \sqrt{x})}\).
\(f^{\prime}(x)=\frac{(\operatorname{senh} \sqrt{x})}{2}\).
\(f^{\prime}(x)=\frac{(\cosh \sqrt{x})}{(2 \sqrt{x})}\)

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Para encontrar a derivada da função \(f(x) = \cosh(\sqrt{x})\), vamos aplicar a regra da cadeia. 1. A derivada de \(\cosh(u)\) em relação a \(u\) é \(\sinh(u)\). 2. Aqui, \(u = \sqrt{x}\), e a derivada de \(\sqrt{x}\) em relação a \(x\) é \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\). Agora, aplicando a regra da cadeia: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}[\cosh(\sqrt{x})] = \sinh(\sqrt{x}) \cdot \frac{d}{dx}[\sqrt{x}] = \sinh(\sqrt{x}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}. \] Portanto, a derivada correta é: \[ f'(x) = \frac{\sinh(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}}. \] Assim, a resposta correta é: \(f^{\prime}(x)=\frac{(\operatorname{senh} \sqrt{x})}{2}\).

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Uma determinada partícula tem sua função horária do espaço descrita da seguinte forma \(\mathrm{s}(\mathrm{t})=\ln (\mathrm{x}+2)+\mathrm{senx}\). O valor numérico de sua velocidade varia ao longo do tempo, assim como o valor de sua aceleração. Para alguns pesquisadores, é importante o estudo do comportamento dessa partícula, porém, apenas com o conhecendo da lei horária não se obtém muita informação. Considerando essas informações e os conteúdos estudados sobre derivada de funções logarítmicas, é correto afirmar que os pesquisadores mencionados resolvem mensurar suas derivadas porque:
a) a área embaixo da curva da função fornecerá a velocidade.
1) a derivada \(f^{\prime}(x)=3 \cos x+1 /(x+2)\) indica a lei horária da velocidade dessa partícula.
2) a derivada \(f^{\prime}(x)=\cos x+1 /\square\) indica a lei horária da aceleração dessa partícula.
3) é possível mensurar a função primitiva que gerou a derivada.
4) a derivada \(f^{\prime}(x)=\cos x+1 /(x+2)\) indica a lei horária da velocidade dessa partícula.

Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre a regra da derivada do produto de duas funções, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) Em todos os casos de derivação do produto de funções é necessário utilizar a regra da derivada do produto de duas funções.
II. ( ) Sendo \(f(x)=e^{x}\) e \(g(x)=x\), a derivada de \(h(x)=f(x) g(x)\) é \(h^{\prime}(x)=\left(e^{x}\right)(1+x)\).
III. ( ) Sendo \(i(x)=\operatorname{sen}(x)\) e \(j(x)=\cos (x)\), a derivada de \(k(x)=i(x) j(x)\) no ponto \((0,0)\) é \(k(0)=0\).
IV. ( ) \(f(x) g(x)\) possui derivada igual a \(f^{\prime}(x) g(x)+f(x) g^{\prime}(x)\).

Tendo em vista essas informações e os conhecimentos acerca das trigonométricas inversas e suas derivadas, analise as afirmações a seguir:
I. Dada \(f(x)=\operatorname{sen}^{-1} x\), tem se que \(f^{\prime}(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\).
II. \(\operatorname{sen}^{-1} x \neq \operatorname{arcsen} x\).
III. Todas as funções inversas são funções trigonométricas.
IV. Dada \(f(x)=\cos ^{-1} x\) tem-se que \(f^{\prime}(x)=\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}\)

Suponha que um objeto se move seguindo a lei horária \(s(t)=\operatorname{sen}(8 t)+t-2\). Somado a isso, sabe-se que a velocidade é determinada pela derivada de uma equação horária, e a aceleração é determinada pela derivada da função velocidade. De acordo essas informações e com seus conhecimentos de derivação, analise as afirmativas a seguir.
I. A função que descreve a velocidade dessa partícula é dada por \(v(t)=8 \cos (8 t)+1\).
II. É impossível determinar a derivada da velocidade.
III. A função que descreve a aceleração dessa partícula é \(a(t)=-64\operatorname{sen}(8t)\).
IV. A função velocidade é uma função polinomial.

Considerando essas informações e os conteúdos estudados sobre derivada de funções trigonométricas, associe as funções a seguir com suas respectivas derivadas.
1) \(v=\cos x\)
2) \(u=x^{2} \cos x\)
3) \(w=- \operatorname{sen} x\)
4) \(y=x^{2} \operatorname{sen} x\)
() -\operatorname{sen} x
() - \cos x
() \(x^{2} \cos x+2 x \operatorname{sen} x\)
() \(-x^{2} \operatorname{sen} x+2 x \cos x\)

Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
a) 1, 3, 2, 4.
b) 3, 2, 4, 1.
c) 1, 4, 2, 3.
d) 3, 4, 2, 1.
e) 2, 3, 1, 4.

Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre o significado da taxa de variação de uma função, é correto afirmar que:
A nenhuma das funções possui taxa de variação em x=0.
B para x=0, a taxa de variação de f(x) é nula, assim como a de g(x).
C para x>0, a taxa de variação de f(x) será sempre positiva, e a de g(x) também.
D para x<0, a taxa de variação de f(x) sempre será positiva, e a de g(x) sempre será negativa.
E para x>0, a taxa de variação de f(x) sempre será positiva, e a de g(x) sempre será negativa.

Acerca dessa regra de derivação, e considerando os conteúdos estudados, analise as afirmativas a seguir:
I. Essa regra considera funções racionais.
II. Essa regra não considera funções algébricas.
III. Essa regra não considera funções constantes, pois a derivada dessa função é igual a zero.
IV. A derivada do quociente entre duas funções é definida por \(\left[f(x) / g(x)\right]^{\prime}=[f^{\prime}(x) g(x)-f(x) g^{\prime}(x)] /[g(x)] 2\)

Com base nessas informações e nos seus conhecimentos acerca da Regra da Cadeia, faça as associações a seguir:
1) \(f(x)=\cos (2 x)\).
2) \(f(x)=3 x^{2}+1\).
3) Regra da Cadeia.
4) \(f(x)=(x+1)^{2}\).
() É útil na derivação de funções compostas.
() É uma função composta que pode ser derivada pela Regra da Cadeia, mas também pela regra do produto.
() É uma função composta que pode ser diferenciável pela Regra da Cadeia.
() Não é uma função composta, portanto, não há necessidade da aplicação da Regra da Cadeia.