Para resolver a integral \(\int x^{2} \ln x \, dx\) pelo método da integração por partes, utilizamos a fórmula: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Vamos escolher: - \(u = \ln x\) \(\Rightarrow du = \frac{1}{x} \, dx\) - \(dv = x^{2} \, dx\) \(\Rightarrow v = \frac{x^{3}}{3}\) Agora, aplicando a fórmula: \[ \int x^{2} \ln x \, dx = \frac{x^{3}}{3} \ln x - \int \frac{x^{3}}{3} \cdot \frac{1}{x} \, dx \] Simplificando a integral restante: \[ \int x^{2} \ln x \, dx = \frac{x^{3}}{3} \ln x - \frac{1}{3} \int x^{2} \, dx \] Calculando a integral \(\int x^{2} \, dx\): \[ \int x^{2} \, dx = \frac{x^{3}}{3} \] Substituindo de volta: \[ \int x^{2} \ln x \, dx = \frac{x^{3}}{3} \ln x - \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3}}{3} = \frac{x^{3}}{3} \ln x - \frac{x^{3}}{9} \] Portanto, a integral se torna: \[ \int x^{2} \ln x \, dx = \frac{x^{3}}{3} \left[\ln x - \frac{1}{3}\right] + C \] Analisando as alternativas, a correta é: A) \(\frac{x^{3}}{3}\left[\ln x-\frac{1}{3}\right]+c\)