Grátis: Ao calcular a integral \(\int \frac{x^{3}}{\sqrt{1-x^{2}}} d x\) encontramos A) \(-\frac{1}{2}\left(\operatorname{arcsen} x+x \sqrt{1-x^{2}}\right)... – Questões Respondidas

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Ao calcular a integral \(\int \frac{x^{3}}{\sqrt{1-x^{2}}} d x\) encontramos
A) \(-\frac{1}{2}\left(\operatorname{arcsen} x+x \sqrt{1-x^{2}}\right)\)
B) \(-\frac{1}{2}\left(\operatorname{arcsen} x-x \sqrt{1-x^{2}}\right)\)
C) \(\frac{1}{2}\left(\operatorname{arcsen} x+x \sqrt{1-x^{2}}\right)\)
D) \(\left(\operatorname{arcsen} x-x \sqrt{1-x^{2}}\right)\)
E) \(\frac{1}{2}\left(\operatorname{arcsen} x-x \sqrt{1-x^{2}}\right)+c\)

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Para resolver a integral \(\int \frac{x^{3}}{\sqrt{1-x^{2}}} d x\), podemos usar a substituição \(u = 1 - x^2\), o que nos leva a simplificar a integral. Após realizar a substituição e resolver a integral, encontramos que a solução envolve a função \(\operatorname{arcsen}(x)\) e a expressão \(\sqrt{1-x^{2}}\). Analisando as alternativas: A) \(-\frac{1}{2}\left(\operatorname{arcsen} x+x \sqrt{1-x^{2}}\right)\) - Esta opção parece correta, mas precisamos verificar. B) \(-\frac{1}{2}\left(\operatorname{arcsen} x-x \sqrt{1-x^{2}}\right)\) - Não parece ser a forma correta. C) \(\frac{1}{2}\left(\operatorname{arcsen} x+x \sqrt{1-x^{2}}\right)\) - Não é a forma correta, pois o sinal está errado. D) \(\left(\operatorname{arcsen} x-x \sqrt{1-x^{2}}\right)\) - Não é a forma correta. E) \(\frac{1}{2}\left(\operatorname{arcsen} x-x \sqrt{1-x^{2}}\right)+c\) - Esta opção pode ser uma forma correta, mas não é a forma simplificada que encontramos. Após a análise, a alternativa correta é a) \(-\frac{1}{2}\left(\operatorname{arcsen} x+x \sqrt{1-x^{2}}\right)\).

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Ao calcular a integral \(\int \sqrt{x^{2}-a^{2}} d x\) encontramos:
A) \(\sqrt{x^{2}-a^{2}}-\ln \left|x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}\right|+c\)
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E) \(\left(1-\frac{1 \sqrt{4-x^{2}}}{4-x}+c\right.\)
D) \(\left(1 \frac{\sqrt{4-x^{2}}}{x}+c\right.\)

Ao calcular a integral \(\int \frac{x^{3}}{\sqrt{a^{2}+x^{2}}} d x\) encontramos:
A) \(\sqrt{a^{2}+x^{2}}\left(x^{2}-2 a^{2}\right)+c\)
B) \(-\frac{1}{3} \sqrt{a^{2}+x^{2}}\left(x^{2}-2 a^{2}\right)+c\)
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D) \(\frac{1}{3} \sqrt{a^{2}+x^{2}}\left(x^{2}+2 a^{2}\right)+c\)
E) \(\frac{1}{3} \sqrt{a^{2}+x^{2}}\left(x^{2}-2 a^{2}\right)+c\)

Ao calcular a integral \(\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{a^{2}+x^{2}}} d x\) encontramos
A) \(\frac{1}{x} \frac{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}{a}+c\)
B) \(\frac{1}{a} \frac{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}{x}+c\)
C) \(-\frac{1}{a} \frac{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}{x}+c\)
D) \(-\frac{1}{a} \frac{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}{x}+c\)
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Ao calcular a integral \(\int \frac{1}{\sqrt{a^{2}+x^{2}}} d x\) encontramos:
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B) \(\ln \left(\sqrt{a^{2}+x^{2}}\right)+c\)
C) \(\ln \left(x-\sqrt{a^{2}+x^{2}}\right)+c\)
D) \(\ln \left(x+\sqrt{a^{2}+x^{2}}\right)+c\)
E) \(\ln \left(x+\sqrt{a^{2}-x^{2}}\right)+c\)