Para resolver a integral \(\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{a^{2}+x^{2}}} d x\), podemos usar a substituição trigonométrica ou uma abordagem direta. Vamos analisar as alternativas: A) \(\frac{1}{x} \frac{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}{a}+c\) - Não parece correta, pois não se ajusta ao formato esperado da integral. B) \(\frac{1}{a} \frac{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}{x}+c\) - Esta alternativa parece promissora, mas vamos verificar as outras. C) \(-\frac{1}{a} \frac{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}{x}+c\) - A presença do sinal negativo pode ser um indicativo de que esta alternativa é a correta, mas precisamos confirmar. D) \(-\frac{1}{a} \frac{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}{x}+c\) - Esta alternativa é incorreta, pois a integral envolve \(\sqrt{a^{2}+x^{2}}\), não \(\sqrt{a^{2}-x^{2}}\). E) \(\frac{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}{x}+c\) - Embora pareça uma forma válida, não se ajusta ao resultado esperado da integral. Após analisar as alternativas, a opção que se alinha melhor com o resultado da integral é a C) \(-\frac{1}{a} \frac{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}{x}+c\). Portanto, a resposta correta é a alternativa C.