Para determinar os autovalores e autovetores do operador linear \( T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 \) dado por \( T(x,y,z) = (3x - y + z, -x + 5y + z, x - y + 3z) \), precisamos encontrar a matriz associada a \( T \) e, em seguida, calcular os autovalores e autovetores. A matriz associada a \( T \) é: \[ A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 \\ -1 & 5 & 1 \\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix} \] Agora, precisamos calcular os autovalores resolvendo o determinante \( \text{det}(A - \lambda I) = 0 \), onde \( I \) é a matriz identidade e \( \lambda \) é o autovalor. Após calcular, encontramos os autovalores \( \lambda_1 = 2 \), \( \lambda_2 = 4 \) e \( \lambda_3 = 5 \). Agora, vamos verificar as sentenças: 1. Autovalor 2 e autovetores: (-2, -1, 1). (Precisamos verificar se (-2, -1, 1) é um autovetor correspondente ao autovalor 2) 2. Autovalor 4 e autovetores: (1, -1, 1). (Precisamos verificar se (1, -1, 1) é um autovetor correspondente ao autovalor 4) 3. Autovalor 5 e autovetores: (-2, -1, 1). (Precisamos verificar se (-2, -1, 1) é um autovetor correspondente ao autovalor 5) 4. Autovalor 4 e autovetores: (1, 0, 1). (Precisamos verificar se (1, 0, 1) é um autovetor correspondente ao autovalor 4) 5. Autovalor 2 e autovetores: (1, 0, 1). (Precisamos verificar se (1, 0, 1) é um autovetor correspondente ao autovalor 2) 6. Autovalor 5 e autovetores: (1, -1, 1). (Precisamos verificar se (1, -1, 1) é um autovetor correspondente ao autovalor 5) Após a verificação, encontramos que: - O autovalor 2 tem como autovetor (1, 0, 1). - O autovalor 4 tem como autovetor (1, -1, 1). - O autovalor 5 tem como autovetor (1, -1, 1). Com isso, as sentenças corretas são: - II - Autovalor 4 e autovetores: (1, -1, 1). - IV - Autovalor 4 e autovetores: (1, 0, 1). - VI - Autovalor 5 e autovetores: (1, -1, 1). A alternativa correta que contém todos os itens verdadeiros é: b) II e IV.