Para qual valor de k, \(\binom{2 n+k}{n} \cdot \binom{2 n-k}{n}\) (n dado) é máximo?

Para encontrar o valor de \( k \) que maximiza a expressão \(\binom{2n+k}{n} \cdot \binom{2n-k}{n}\), podemos usar a simetria das combinações e algumas propriedades. 1. Simetria: A expressão é simétrica em relação a \( k \). Isso significa que se \( k \) aumenta, a parte \(\binom{2n+k}{n}\) aumenta até um certo ponto, enquanto \(\binom{2n-k}{n}\) diminui. 2. Maximização: O valor de \( k \) que maximiza a expressão geralmente ocorre quando \( k = 0 \). Isso porque, nesse caso, temos: \[ \binom{2n}{n} \cdot \binom{2n}{n} \] que é um valor bem definido e tende a ser o maior. 3. Verificação: Para valores de \( k \) positivos ou negativos, a multiplicação das combinações tende a diminuir devido à diminuição de um dos fatores. Portanto, o valor de \( k \) que maximiza a expressão é \( k = 0 \).