Para resolver essa questão, vamos seguir os passos: 1. Tratar Helena e Pedro como um único bloco: Como eles devem ficar juntos, podemos considerá-los como uma única "pessoa". Assim, temos 7 "pessoas" para organizar: o bloco Helena-Pedro e as outras 6 pessoas (Vera, Paulo e mais 4). 2. Calcular as permutações: As 7 "pessoas" podem ser organizadas de \(7!\) maneiras. Dentro do bloco Helena-Pedro, eles podem ser organizados de \(2!\) maneiras (Helena pode estar à frente ou atrás de Pedro). Portanto, o total de arranjos considerando Helena e Pedro juntos é: \[ 7! \times 2! = 5040 \times 2 = 10080 \] 3. Calcular os arranjos onde Vera e Paulo estão juntos: Agora, precisamos considerar os casos em que Vera e Paulo também estão juntos. Vamos tratá-los como um bloco, assim temos 6 "pessoas" para organizar: o bloco Vera-Paulo, o bloco Helena-Pedro e as outras 4 pessoas. O número de arranjos é: \[ 6! \times 2! \times 2! = 720 \times 2 \times 2 = 2880 \] 4. Subtrair os casos indesejados: Para encontrar o número de arranjos em que Vera e Paulo não estão juntos, subtraímos o número de arranjos em que eles estão juntos do total de arranjos em que Helena e Pedro estão juntos: \[ 10080 - 2880 = 7200 \] Portanto, o número de modos de colocar 8 pessoas em fila de modo que Vera e Paulo não fiquem juntas e Helena e Pedro permaneçam juntos é 7200.