Realize a divisão de f(x) por p(x), e escreva qual é o valor do resto e do quociente em Z7.f(x)=4x^4+1x+2 e p(x)=3x^(3 )+4x+2

Para realizar a divisão de \( f(x) = 4x^4 + 1x + 2 \) por \( p(x) = 3x^3 + 4x + 2 \) no corpo \( \mathbb{Z}_7 \), vamos seguir os passos da divisão polinomial. 1. Divisão do primeiro termo: Divida o primeiro termo de \( f(x) \) pelo primeiro termo de \( p(x) \): \[ \frac{4x^4}{3x^3} = \frac{4}{3}x = 4 \cdot 5x = 20x \equiv 6x \mod 7 \] (onde \( 5 \) é o inverso de \( 3 \) em \( \mathbb{Z}_7 \)). 2. Multiplicação: Multiplique \( 6x \) por \( p(x) \): \[ 6x(3x^3 + 4x + 2) = 18x^4 + 24x^2 + 12x \equiv 4x^4 + 3x^2 + 5x \mod 7 \] 3. Subtração: Subtraia o resultado da multiplicação de \( f(x) \): \[ (4x^4 + 1x + 2) - (4x^4 + 3x^2 + 5x) = -3x^2 - 4x + 2 \equiv 4x^2 + 3x + 2 \mod 7 \] 4. Repetir o processo: Agora, divida \( 4x^2 \) pelo primeiro termo de \( p(x) \): \[ \frac{4x^2}{3x^3} = 0 \quad (\text{não é possível, pois o grau de } f(x) \text{ é menor que o de } p(x)) \] Portanto, a divisão termina aqui. Resultado: - Quociente: \( 6x \) - Resto: \( 4x^2 + 3x + 2 \) Assim, o quociente é \( 6x \) e o resto é \( 4x^2 + 3x + 2 \) em \( \mathbb{Z}_7 \).