Sem recorrer à calculadora, resolve a seguinte inequação $1+2 \ln \left(\frac{8}{x}-4\right) \leq \ln 4 e$

Para resolver a inequação \(1 + 2 \ln \left(\frac{8}{x} - 4\right) \leq \ln 4 e\), vamos seguir os passos: 1. Isolar o logaritmo: \[ 2 \ln \left(\frac{8}{x} - 4\right) \leq \ln 4 e - 1 \] 2. Dividir ambos os lados por 2: \[ \ln \left(\frac{8}{x} - 4\right) \leq \frac{\ln 4 e - 1}{2} \] 3. Simplificar o lado direito: Lembre-se que \(e\) é a base do logaritmo natural, então: \[ \ln 4 e = \ln 4 + \ln e = \ln 4 + 1 \] Portanto: \[ \frac{\ln 4 e - 1}{2} = \frac{\ln 4 + 1 - 1}{2} = \frac{\ln 4}{2} \] 4. Reescrever a inequação: \[ \ln \left(\frac{8}{x} - 4\right) \leq \frac{\ln 4}{2} \] 5. Aplicar a exponenciação: \[ \frac{8}{x} - 4 \leq e^{\frac{\ln 4}{2}} = \sqrt{4} = 2 \] 6. Isolar \(x\): \[ \frac{8}{x} \leq 6 \] Multiplicando ambos os lados por \(x\) (considerando \(x > 0\)): \[ 8 \leq 6x \implies x \geq \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \] 7. Verificar a condição de existência do logaritmo: Para que \(\frac{8}{x} - 4 > 0\): \[ \frac{8}{x} > 4 \implies 8 > 4x \implies x < 2 \] 8. Combinar as condições: Temos \(x \geq \frac{4}{3}\) e \(x < 2\). Portanto, a solução da inequação é: \[ \frac{4}{3} \leq x < 2 \] Assim, a solução final é: \[ x \in \left[\frac{4}{3}, 2\right) \]