Para resolver essa questão, vamos seguir os passos: 1. Identificar as condições: Precisamos de números de sete algarismos, com dois algarismos 5, quatro algarismos 6 e um algarismo 7. Além disso, os números devem ser ímpares e maiores que seis milhões. 2. Condição de ser maior que seis milhões: Para que um número de sete algarismos seja maior que seis milhões, o primeiro algarismo deve ser 6 ou 7. Como temos quatro algarismos 6 e um 7, vamos analisar cada caso. 3. Caso 1: Primeiro algarismo é 7: - Os outros algarismos são dois 5 e quatro 6. O número deve ser ímpar, então o último algarismo deve ser 5 ou 7. Como já usamos o 7 no primeiro algarismo, o último algarismo deve ser 5. - Assim, temos a seguinte configuração: 7, 5, 6, 6, 6, 6, 5. - O número de arranjos é dado pela fórmula de permutação de multiconjunto: \[ \frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot n_3!} \] onde \(n\) é o total de algarismos, e \(n_1\), \(n_2\), \(n_3\) são as quantidades de cada algarismo. - Aqui, temos 7 algarismos no total: 1 (7), 2 (5) e 4 (6): \[ \frac{7!}{1! \cdot 2! \cdot 4!} = \frac{5040}{1 \cdot 2 \cdot 24} = 105 \] 4. Caso 2: Primeiro algarismo é 6: - Os outros algarismos são dois 5, três 6 e um 7. Para que o número seja ímpar, o último algarismo deve ser 5. - Assim, temos a seguinte configuração: 6, 6, 6, 5, 5, 7. - O número de arranjos é: \[ \frac{7!}{1! \cdot 3! \cdot 2! \cdot 1!} = \frac{5040}{1 \cdot 6 \cdot 2 \cdot 1} = 420 \] 5. Total de números ímpares e maiores que seis milhões: - Somando os dois casos: \[ 105 + 420 = 525 \] Portanto, o total de números naturais de sete algarismos que podem ser formados com dois algarismos 5, quatro algarismos 6 e um algarismo 7, que são ímpares e maiores que seis milhões, é 525.