Vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função \( F(x,y) = 2e^{2x} - \sen(2y) \). 1. Derivada parcial em relação a \( x \): \[ \frac{\partial F}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(2e^{2x}) - \frac{\partial}{\partial x}(\sen(2y)) \] A derivada de \( 2e^{2x} \) em relação a \( x \) é \( 4e^{2x} \) (usando a regra da cadeia). A derivada de \( -\sen(2y) \) em relação a \( x \) é 0, pois não depende de \( x \). Portanto: \[ \frac{\partial F}{\partial x} = 4e^{2x} \] 2. Derivada parcial em relação a \( y \): \[ \frac{\partial F}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(2e^{2x}) - \frac{\partial}{\partial y}(\sen(2y)) \] A derivada de \( 2e^{2x} \) em relação a \( y \) é 0, pois não depende de \( y \). A derivada de \( -\sen(2y) \) em relação a \( y \) é \( -2\cos(2y) \) (usando a regra da cadeia). Portanto: \[ \frac{\partial F}{\partial y} = -2\cos(2y) \] Agora, vamos analisar as alternativas: a. \( \frac{\partial F}{\partial x} = -4e^{2x} \) e \( \frac{\partial F}{\partial y} = -2\cos(2y) \) - FALSO b. \( \frac{\partial F}{\partial y} = -4e^{2x} \) e \( \frac{\partial F}{\partial x} = 2\cos(2y) \) - FALSO c. \( \frac{\partial F}{\partial x} = 4e^{2x} \) e \( \frac{\partial F}{\partial y} = \cos(2y) \) - FALSO d. \( \frac{\partial F}{\partial x} = 4e^{2x} \) e \( \frac{\partial F}{\partial y} = -2\cos(2y) \) - VERDADEIRO Portanto, a alternativa correta é: d. \( \frac{\partial F}{\partial x} = 4e^{2x} \) e \( \frac{\partial F}{\partial y} = -2\cos(2y) \).