Para resolver a questão, precisamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função \( f(x,y) = 2e^{2x} - \sen(2y) + 24 \). 1. Derivada parcial em relação a \( x \): - A primeira derivada em relação a \( x \) é: \[ \frac{\partial f}{\partial x} = 2 \cdot 2e^{2x} = 4e^{2x} \] - A segunda derivada em relação a \( x \) é: \[ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}(4e^{2x}) = 4 \cdot 2e^{2x} = 8e^{2x} \] 2. Derivada parcial em relação a \( y \): - A primeira derivada em relação a \( y \) é: \[ \frac{\partial f}{\partial y} = -2\cos(2y) \] - A segunda derivada em relação a \( y \) é: \[ \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}(-2\cos(2y)) = -2 \cdot (-2\sen(2y)) = 4\sen(2y) \] Agora, vamos analisar as alternativas: a) \( \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = e^{2x} \quad \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -4\sen(2) \) - Incorreto, pois a derivada em relação a \( x \) está errada e a de \( y \) também. b) \( \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 8e^{2x} \quad \frac{\partial^2 f}{\partial y} = 4\sen(2y) \) - Correto para \( \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \), mas a derivada de \( y \) está errada. c) \( \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 8e^{2} \quad \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -4\sen(2) \) - Incorreto, pois a derivada em relação a \( x \) está correta, mas a de \( y \) está errada. d) \( \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 8e^{2x} \quad \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -4\sen(2y) \) - Correto para ambas as derivadas. Portanto, a alternativa correta é: d) \( \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 8e^{2x} \quad \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -4\sen(2y) \).