O valor da razão de ∂2f/∂y∂z por ∂2f/∂y∂x, para f(x, y, z) = (x+ 2y+ 3z)3, vale a) 0. b) 1. c) 2. d) 3. d) 4.

Para resolver a questão, precisamos calcular as derivadas parciais de \( f(x, y, z) = (x + 2y + 3z)^3 \). 1. Calcular \(\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial z}\): - Primeiro, calculamos \(\frac{\partial f}{\partial z}\): \[ \frac{\partial f}{\partial z} = 3(x + 2y + 3z)^2 \cdot 3 = 9(x + 2y + 3z)^2 \] - Agora, derivamos em relação a \(y\): \[ \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial z} = \frac{\partial}{\partial y}(9(x + 2y + 3z)^2) = 9 \cdot 2(x + 2y + 3z) \cdot 2 = 36(x + 2y + 3z) \] 2. Calcular \(\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}\): - Primeiro, calculamos \(\frac{\partial f}{\partial x}\): \[ \frac{\partial f}{\partial x} = 3(x + 2y + 3z)^2 \cdot 1 = 3(x + 2y + 3z)^2 \] - Agora, derivamos em relação a \(y\): \[ \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y}(3(x + 2y + 3z)^2) = 3 \cdot 2(x + 2y + 3z) \cdot 2 = 12(x + 2y + 3z) \] 3. Calcular a razão: \[ \frac{\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial z}}{\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}} = \frac{36(x + 2y + 3z)}{12(x + 2y + 3z)} = \frac{36}{12} = 3 \] Portanto, o valor da razão \(\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial z} \div \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}\) é 3. A alternativa correta é: d) 3.