Vamos calcular os limites A, B e C um a um. 1. Cálculo de A: \[ A = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} \] Podemos fatorar o numerador: \[ A = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} \] Cancelando \(x - 1\) (exceto quando \(x = 1\)): \[ A = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 1 + 1 = 2 \] 2. Cálculo de B: \[ B = \lim_{x \to 0} (x\sqrt{x+1} - 1) \] Substituindo \(x = 0\): \[ B = 0 \cdot \sqrt{0 + 1} - 1 = 0 - 1 = -1 \] 3. Cálculo de C: \[ C = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} - (1 + ax)}{x^2} \] Usando a expansão de Taylor para \(\sqrt{1+x}\): \[ \sqrt{1+x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + O(x^3) \] Assim, temos: \[ C = \lim_{x \to 0} \frac{\left(1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8}\right) - (1 + ax)}{x^2} \] Simplificando: \[ C = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{2} - ax - \frac{x^2}{8}}{x^2} = \lim_{x \to 0} \left(\frac{\frac{1}{2} - a}{x} - \frac{1}{8}\right) \] Para que o limite exista, o coeficiente de \(x\) deve ser zero, ou seja, \(\frac{1}{2} - a = 0 \Rightarrow a = \frac{1}{2}\). Substituindo \(a\): \[ C = \lim_{x \to 0} -\frac{1}{8} = -\frac{1}{8} \] Agora, substituindo A, B e C na expressão \(2A - B + 8C\): \[ 2A - B + 8C = 2(2) - (-1) + 8\left(-\frac{1}{8}\right) \] \[ = 4 + 1 - 1 = 4 \] Parece que houve um erro na interpretação do resultado. Vamos revisar as opções: a) −2 b) −1 c) 0 d) 1 e) 2 Nenhuma das opções corresponde ao resultado que encontramos. Por favor, verifique se a questão está correta ou se há mais informações.