Para calcular a área da figura formada pela rotação da função \( f(x) = \sqrt{x} \) em torno do eixo x, entre os limites \( x = 1 \) e \( x = 4 \), utilizamos a fórmula da área de superfície de revolução: \[ A = 2\pi \int_{a}^{b} f(x) \sqrt{1 + (f'(x))^2} \, dx \] Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função \( f(x) = \sqrt{x} \): \[ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \] Agora, calculamos \( 1 + (f'(x))^2 \): \[ 1 + (f'(x))^2 = 1 + \left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)^2 = 1 + \frac{1}{4x} = \frac{4x + 1}{4x} \] Agora, a raiz quadrada: \[ \sqrt{1 + (f'(x))^2} = \sqrt{\frac{4x + 1}{4x}} = \frac{\sqrt{4x + 1}}{2\sqrt{x}} \] Substituindo na fórmula da área: \[ A = 2\pi \int_{1}^{4} \sqrt{x} \cdot \frac{\sqrt{4x + 1}}{2\sqrt{x}} \, dx = \pi \int_{1}^{4} \sqrt{4x + 1} \, dx \] Agora, precisamos calcular a integral \( \int_{1}^{4} \sqrt{4x + 1} \, dx \). Para isso, fazemos a substituição \( u = 4x + 1 \), então \( du = 4dx \) ou \( dx = \frac{du}{4} \). Os limites de integração mudam: - Quando \( x = 1 \), \( u = 5 \) - Quando \( x = 4 \), \( u = 17 \) A integral se torna: \[ A = \pi \int_{5}^{17} \sqrt{u} \cdot \frac{1}{4} \, du = \frac{\pi}{4} \int_{5}^{17} u^{1/2} \, du \] Calculando a integral: \[ \int u^{1/2} \, du = \frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3} u^{3/2} \] Assim, temos: \[ A = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{2}{3} \left[ u^{3/2} \right]_{5}^{17} = \frac{\pi}{6} \left[ 17^{3/2} - 5^{3/2} \right] \] Calculando \( 17^{3/2} \) e \( 5^{3/2} \): - \( 17^{3/2} = 17 \cdot \sqrt{17} \approx 17 \cdot 4.123 = 69.09 \) - \( 5^{3/2} = 5 \cdot \sqrt{5} \approx 5 \cdot 2.236 = 11.18 \) Portanto: \[ A \approx \frac{\pi}{6} (69.09 - 11.18) \approx \frac{\pi}{6} \cdot 57.91 \approx 30.49 \] Assim, a área da figura formada é aproximadamente 30,49 u.a. A alternativa que mais se aproxima desse valor é: a) 30 u.a.