o valo de a para que seja 45º o ângulo ente os vetores u= (2,1)e v= (1,a) é:

Para encontrar o valor de \( a \) que faz com que o ângulo entre os vetores \( \mathbf{u} = (2, 1) \) e \( \mathbf{v} = (1, a) \) seja de 45º, podemos usar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores: \[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{||\mathbf{u}|| \cdot ||\mathbf{v}||} \] Onde: - \( \theta = 45º \) implica que \( \cos(45º) = \frac{1}{\sqrt{2}} \). - O produto escalar \( \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot a = 2 + a \). - A norma de \( \mathbf{u} \) é \( ||\mathbf{u}|| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5} \). - A norma de \( \mathbf{v} \) é \( ||\mathbf{v}|| = \sqrt{1^2 + a^2} = \sqrt{1 + a^2} \). Substituindo na fórmula: \[ \frac{2 + a}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{1 + a^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \] Multiplicando ambos os lados por \( \sqrt{5} \cdot \sqrt{1 + a^2} \): \[ 2 + a = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{1 + a^2} \] Elevando ao quadrado ambos os lados para eliminar a raiz: \[ (2 + a)^2 = \frac{5}{2} (1 + a^2) \] Resolvendo essa equação, você encontrará o valor de \( a \). Após simplificações, você deve chegar a uma equação quadrática que pode ser resolvida para encontrar os valores de \( a \).