encontre a solução da equação não homôgenea utilizando os métodos de coeficiente a determinar Y" - y = x + 1

Para resolver a equação diferencial não homogênea \( Y'' - Y = x + 1 \) utilizando o método dos coeficientes a determinar, siga os passos abaixo: 1. Encontrar a solução geral da equação homogênea: A equação homogênea associada é \( Y'' - Y = 0 \). A solução característica é \( r^2 - 1 = 0 \), que tem raízes \( r = 1 \) e \( r = -1 \). Portanto, a solução geral da homogênea é: \[ Y_h = C_1 e^x + C_2 e^{-x} \] 2. Encontrar uma solução particular: Para a parte não homogênea \( x + 1 \), vamos assumir uma solução particular da forma: \[ Y_p = Ax + B \] onde \( A \) e \( B \) são constantes a serem determinadas. 3. Calcular as derivadas: \[ Y_p' = A \] \[ Y_p'' = 0 \] 4. Substituir na equação original: Substituindo \( Y_p \) e suas derivadas na equação \( Y'' - Y = x + 1 \): \[ 0 - (Ax + B) = x + 1 \] Isso simplifica para: \[ -Ax - B = x + 1 \] 5. Igualar os coeficientes: Comparando os coeficientes de \( x \) e os termos constantes, temos: \[ -A = 1 \quad \Rightarrow \quad A = -1 \] \[ -B = 1 \quad \Rightarrow \quad B = -1 \] 6. Solução particular: Assim, a solução particular é: \[ Y_p = -x - 1 \] 7. Solução geral: A solução geral da equação não homogênea é a soma da solução homogênea e da particular: \[ Y = Y_h + Y_p = C_1 e^x + C_2 e^{-x} - x - 1 \] E aí está a solução da equação não homogênea! Se precisar de mais alguma coisa, é só avisar!