Para analisar a sequência \( (a_n) \) definida por \( a_0 = \sqrt{2} \) e \( a_{n+1} = \sqrt{2} + a_n \), vamos observar o comportamento da sequência. 1. Cálculo dos primeiros termos: - \( a_0 = \sqrt{2} \) - \( a_1 = \sqrt{2} + a_0 = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \) - \( a_2 = \sqrt{2} + a_1 = \sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2} \) - \( a_3 = \sqrt{2} + a_2 = \sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \) Observamos que a sequência parece estar aumentando. 2. Comportamento da sequência: A sequência é crescente, pois cada termo é obtido somando \( \sqrt{2} \) ao termo anterior. Portanto, \( a_{n+1} > a_n \) para todo \( n \). 3. Limite da sequência: Vamos supor que a sequência converge para um limite \( L \). Então, ao tomar o limite na definição da sequência, temos: \[ L = \sqrt{2} + L \] Subtraindo \( L \) de ambos os lados, obtemos: \[ 0 = \sqrt{2} \] O que é uma contradição. Portanto, a sequência não pode convergir para um número finito. 4. Conclusão: A sequência \( (a_n) \) é crescente e não tem um limite finito, portanto, diverge para \( +\infty \). Assim, a resposta para a pergunta é que a sequência não é convergente. Portanto, devemos esperar que \( (a_n) \) não seja uma sequência convergente.