Em relação aos limites responda. (a) Determine se a sequencia (an = √n2 + n− n) converge ou diverge. Se ela converge, ache o limite.

Para determinar se a sequência \( a_n = \sqrt{n^2 + n} - n \) converge ou diverge, vamos simplificar a expressão. 1. Reescrevendo a sequência: \[ a_n = \sqrt{n^2 + n} - n \] 2. Multiplicando pelo conjugado: Para simplificar, multiplicamos e dividimos por \( \sqrt{n^2 + n} + n \): \[ a_n = \frac{(\sqrt{n^2 + n} - n)(\sqrt{n^2 + n} + n)}{\sqrt{n^2 + n} + n} = \frac{n^2 + n - n^2}{\sqrt{n^2 + n} + n} = \frac{n}{\sqrt{n^2 + n} + n} \] 3. Simplificando a fração: Agora, vamos analisar o limite de \( a_n \) quando \( n \) tende ao infinito: \[ a_n = \frac{n}{\sqrt{n^2 + n} + n} \] Dividindo o numerador e o denominador por \( n \): \[ a_n = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1} \] 4. Calculando o limite: Quando \( n \) tende ao infinito, \( \frac{1}{n} \) tende a 0: \[ \lim_{n \to \infty} a_n = \frac{1}{\sqrt{1 + 0} + 1} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2} \] Portanto, a sequência \( a_n \) converge e o limite é \( \frac{1}{2} \).