Cálculo

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Em relação a regra da cadeia e a derivação inversa ou implícita, responda. (a) Encontre a derivada de arccot(x).

Questões para Estudantes

mês passado

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PROFMAT-Calculo(prova1) (2015)

ESTÁCIO

Respostas

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Para encontrar a derivada de \( \text{arccot}(x) \), podemos usar a regra da cadeia. A derivada de \( \text{arccot}(x) \) é dada por: \[ \frac{d}{dx} \text{arccot}(x) = -\frac{1}{1 + x^2} \] Portanto, a derivada de \( \text{arccot}(x) \) é \( -\frac{1}{1 + x^2} \).

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Seja (an) a seqüência definida recursivamente por a0 = √2 e an+1 = √2 + an, para n ≥ 1.
(a) Mostre que an < 2 para n ≥ 1.

Seja (an) a seqüência definida recursivamente por a0 = √2 e an+1 = √2 + an, para n ≥ 1.
(c) Verifique se (an) é uma seqüência monótona. Em caso afirmativo, ela é crescente ou decrescente? [Dica: se x e y são números reais positivos tais que x2 − y2 > 0 então x− y > 0. Verifique!]

Seja (an) a seqüência definida recursivamente por a0 = √2 e an+1 = √2 + an, para n ≥ 1.
(d) Devemos esperar que (an) seja uma sequência convergente? Em caso afirmativo, calcule lim n→∞ an.

Em relação aos limites responda.
(a) Determine se a sequencia (an = √n2 + n− n) converge ou diverge. Se ela converge, ache o limite.

Em relação aos limites responda.
(b) Calcule lim x→1 ( (2x2 + 1) / (1− x3) − 1 / (1− x) )

Em relação aos limites responda.
(c) Calcule lim x→0 (1− cosx) / x2

Em relação as derivadas e funções contínuas, responda.
(a) Usando a definição de derivada, calcule a derivada de f(x) = √(4x2 − 1).

Considere um reservatório, na forma de um hemisfério de raio R = 10 m, com água até uma altura h, conforme ilustra a figura abaixo.
(a) Usando a regra da cadeia aplicada ao caso em que V = V(h) e h = h(t), determine o valor de h′(t) no instante t em que h(t) = 4.

Cálculo

Em relação a regra da cadeia e a derivação inversa ou implícita, responda. (a) Encontre a derivada de arccot(x).

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Seja (an) a seqüência definida recursivamente por a0 = √2 e an+1 = √2 + an, para n ≥ 1.(a) Mostre que an < 2 para n ≥ 1.

Seja (an) a seqüência definida recursivamente por a0 = √2 e an+1 = √2 + an, para n ≥ 1.(c) Verifique se (an) é uma seqüência monótona. Em caso afirmativo, ela é crescente ou decrescente? [Dica: se x e y são números reais positivos tais que x2 − y2 > 0 então x− y > 0. Verifique!]

Seja (an) a seqüência definida recursivamente por a0 = √2 e an+1 = √2 + an, para n ≥ 1.(d) Devemos esperar que (an) seja uma sequência convergente? Em caso afirmativo, calcule lim n→∞ an.

Em relação aos limites responda.(a) Determine se a sequencia (an = √n2 + n− n) converge ou diverge. Se ela converge, ache o limite.

Em relação aos limites responda.(b) Calcule lim x→1 ( (2x2 + 1) / (1− x3) − 1 / (1− x) )

Em relação aos limites responda.(c) Calcule lim x→0 (1− cosx) / x2

Em relação as derivadas e funções contínuas, responda.(a) Usando a definição de derivada, calcule a derivada de f(x) = √(4x2 − 1).

Considere um reservatório, na forma de um hemisfério de raio R = 10 m, com água até uma altura h, conforme ilustra a figura abaixo.(a) Usando a regra da cadeia aplicada ao caso em que V = V(h) e h = h(t), determine o valor de h′(t) no instante t em que h(t) = 4.

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Seja (an) a seqüência definida recursivamente por a0 = √2 e an+1 = √2 + an, para n ≥ 1.
(a) Mostre que an < 2 para n ≥ 1.

Seja (an) a seqüência definida recursivamente por a0 = √2 e an+1 = √2 + an, para n ≥ 1.
(d) Devemos esperar que (an) seja uma sequência convergente? Em caso afirmativo, calcule lim n→∞ an.

Em relação aos limites responda.
(a) Determine se a sequencia (an = √n2 + n− n) converge ou diverge. Se ela converge, ache o limite.

Em relação aos limites responda.
(b) Calcule lim x→1 ( (2x2 + 1) / (1− x3) − 1 / (1− x) )

Em relação aos limites responda.
(c) Calcule lim x→0 (1− cosx) / x2

Em relação as derivadas e funções contínuas, responda.
(a) Usando a definição de derivada, calcule a derivada de f(x) = √(4x2 − 1).

Considere um reservatório, na forma de um hemisfério de raio R = 10 m, com água até uma altura h, conforme ilustra a figura abaixo.
(a) Usando a regra da cadeia aplicada ao caso em que V = V(h) e h = h(t), determine o valor de h′(t) no instante t em que h(t) = 4.