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Geometria

Colégio Objetivo

Em funções vetoriais, o vetor tangente em um ponto de uma curva indica a direção na qual a curva está "seguindo" naquele ponto, e é obtido derivando a função vetorial em relação ao parâmetro. O vetor normal, por outro lado, é perpendicular ao vetor tangente e está associado à direção na qual a curva está "curvando". A relação entre esses vetores é fundamental para entender o comportamento de uma curva no espaço.
Considere uma curva suave no espaço descrita por uma função vetorial r(t). A respeito dos vetores tangente T(t) e normal N(t), são feitas as seguintes afirmacoes:
I. O vetor tangente T(t) e o vetor normal N(t) são sempre perpendiculares entre si em qualquer ponto da curva.
II. A magnitude do vetor normal N(t) não influencia a curvatura da curva.
III. O vetor tangente T(t) pode ter magnitude variável ao longo da curva.
IV. O vetor normal N(t) aponta em direção à curvatura da curva, sendo perpendicular ao vetor tangente T(t).
A II e III, apenas.
B I e IV, apenas.
C I, II e III, apenas.
D I, III e IV, apenas.
E II e IV, apenas.

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Vamos analisar cada uma das afirmações: I. O vetor tangente T(t) e o vetor normal N(t) são sempre perpendiculares entre si em qualquer ponto da curva. Verdadeiro, essa afirmação está correta, pois o vetor normal é, por definição, perpendicular ao vetor tangente. II. A magnitude do vetor normal N(t) não influencia a curvatura da curva. Falso, a magnitude do vetor normal está relacionada à curvatura da curva. A curvatura é uma medida de como a curva se desvia de ser uma linha reta, e a magnitude do vetor normal pode influenciar essa medida. III. O vetor tangente T(t) pode ter magnitude variável ao longo da curva. Verdadeiro, essa afirmação está correta, pois a magnitude do vetor tangente pode variar dependendo da velocidade da curva em diferentes pontos. IV. O vetor normal N(t) aponta em direção à curvatura da curva, sendo perpendicular ao vetor tangente T(t). Verdadeiro, essa afirmação está correta, pois o vetor normal é perpendicular ao vetor tangente e aponta na direção da curvatura. Agora, vamos compilar as informações: - I: Verdadeiro - II: Falso - III: Verdadeiro - IV: Verdadeiro Com base nisso, as afirmações verdadeiras são I, III e IV. Portanto, a alternativa correta é: D) I, III e IV, apenas.

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A parametrização de uma reta no espaço tridimensional é uma ferramenta importante para descrever todos os pontos que pertencem a essa reta usando um parâmetro escalar. A parametrização de uma reta é determinada por um ponto fixo na reta e um vetor que define sua direção. Utilizando um ponto e a direção da reta, a fórmula para a parametrização pode ser expressa na forma geral de uma função vetorial.
Considere os pontos A = (−1, 2, 4) e B = (2, −1, 5). Com base na informação fornecida, sobre as possibilidades possíveis para a parametrização da reta no formato r(t) = P0 + vt, que passa por esses pontos, analise as afirmativas a seguir:
I. r(t) = (−1, 2, 4) + t(3, −3, 1).
II. r(t) = (−1, 2, 4) + t(3, 3, -1).
III. r(t) = (2, −1, 5) + t(3, 3, -1).
IV. r(t) = (2, −1, 5) + t(-3, 3, -1).
A II e IV, apenas.
B I, III e IV, apenas.
C II e III, apenas.
D I, II e III, apenas.
E I e IV, apenas.

O estudo de limites e continuidade em funções vetoriais é fundamental para compreender o comportamento de curvas e superfícies em espaços tridimensionais. Uma função vetorial é contínua em um ponto se o limite da função, ao se aproximar desse ponto, existir e for igual ao valor da função naquele ponto. A análise de continuidade em funções vetoriais é crucial para a modelagem de fenômenos físicos e matemáticos em várias dimensões.
Considerando os conceitos de limite e continuidade em funções vetoriais, analise as afirmativas a seguir:
I. O limite de uma função vetorial pode ser obtido calculando-se o limite de cada uma de suas componentes separadamente.
II. Para que uma função vetorial seja contínua em um ponto, é suficiente que o limite da função naquele ponto exista.
III. A continuidade de uma função vetorial em um ponto implica que a função é contínua em todos os pontos de seu domínio.
IV. A continuidade de uma função vetorial em um ponto garante que o limite da função ao se aproximar desse ponto é o mesmo que o valor da função naquele ponto.
A II e III, apenas.
B I, II e III, apenas.
C I, III e IV, apenas.
D II e IV, apenas.
E I e IV, apenas.

O trabalho em física é uma medida da energia transferida por uma força quando um objeto se move ao longo de uma trajetória. Quando uma força é aplicada a um corpo e essa força provoca deslocamento, o trabalho realizado é calculado como o produto da componente da força na direção do movimento e a distância percorrida. Uma função vetorial pode descrever a força aplicada ao longo de uma curva, e o trabalho realizado para deslocar um objeto ao longo dessa trajetória é calculado pela integral de linha da força ao longo da curva, levando em consideração o produto escalar entre o vetor força e o vetor tangente à curva em cada ponto. Seja o campo de forças F(x, y) =(y, x) e o caminho definido pelo segmento de reta AB cuja parametrização é dada por γ(t) = (4t – 2, 2t), em que t é o parâmetro que varia no intervalo 0 ≤ t ≤ 1. Com base nas informações apresentadas e considerando que o campo de forças F e a curva γ estão expressos em unidades do Sistema Internacional de Medidas (SI), determine o trabalho, em joules, realizado pelo campo de forças F na movimentação de um objeto ao longo da curva γ: A) 4 Joules. B) 5 Joules. C) 7 Joules. D) 6 Joules. E) 3 Joules.

A parametrização de figuras geométricas, como circunferências ou parte dela, é uma técnica utilizada para representar essas formas no plano cartesiano. A semicircunferência, que ocupa apenas parte de uma circunferência completa, pode ser descrita utilizando uma parametrização específica que limita o domínio do parâmetro t, correspondendo à porção desejada da circunferência.
Considere uma semicircunferência, em que o raio mede 3 unidades, centrada no ponto (2,−1) no plano cartesiano XY, que se encontra nos dois primeiros quadrantes. Sobre o exposto, avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre elas:
I. A semicircunferência nos dois primeiros quadrantes pode ser parametrizada como x(t) = 2 + 3cos(t) e y(t) = −1 + 3sin(t), em que t varia de 0 a π.
II. A parametrização apresentada é adequada, pois o valor de t entre 0 e π descreve apenas os pontos da semicircunferência que estão nos dois primeiros quadrantes.
A As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
B As asserções I e II são falsas.
C A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
D As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
E A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.

Imagine um rio descrito por um campo vetorial F(x, y) = (y², 0), em que o vetor F representa a velocidade da correnteza do rio em diferentes pontos. Note pela ilustração que esse rio possui uma profundidade de 6 metros, e para y = 0, temos o leito do rio. Além disso, a correnteza do rio varia dependendo da profundidade. Assim, conforme você vai mais fundo no rio, a velocidade da correnteza horizontal diminui.
Dessa forma, baseado na função vetorial F e no rotacional deste campo vetorial, analise as afirmativas a seguir:
I. A velocidade na direção vertical é zero, indicando que não há movimento da água para cima ou para baixo.
II. O rotacional deste campo vetorial é conservativo.
III. Para 2 metros abaixo da superfície, a rotacional apresenta o vetor (0, 0 , -4).
IV. Caso algo fosse jogado neste rio, ele tenderia a rotacionar no sentido horário.
A I, III e IV, apenas.
B I e III, apenas.
C II e IV, apenas.
D I e IV, apenas.
E I, II e III, apenas.

Uma mola será fabricada utilizando um arame com diâmetro de 10 mm. A densidade linear do material do arame é representada pela função constante f(x, y, z) = 0,6 kg/m. A estrutura da mola segue uma forma helicoidal, que pode ser descrita matematicamente pela curva paramétrica γ(t) = (cos(t), sen(t), t/40), em que t é o parâmetro que varia no intervalo 0 ≤ t ≤ 160 e o comprimento da curva está dado em metros. Essa parametrização indica que a mola forma uma hélice circular no espaço tridimensional, com a projeção do movimento circular no plano (x, y) e um crescimento linear ao longo do eixo z.
Com base nas informações apresentadas, assinale a alternativa correta que apresenta a massa total dessa mola:
A Aproximadamente 78 kg.
B Aproximadamente 76 kg.
C Aproximadamente 82 kg.
D Aproximadamente 96 kg.
E Aproximadamente 86 kg.

O estudo de operadores diferenciais em campos escalares e vetoriais, como gradiente, rotacional e divergente, é fundamental para a compreensão de fenômenos físicos. O gradiente de um campo escalar é um campo vetorial que aponta na direção da maior taxa de variação. O rotacional de um campo vetorial mede a tendência de rotação ao redor de um ponto. Já o divergente de um campo vetorial mede a taxa de "expansão" ou "compressão" no ponto. O Laplaciano é um operador diferencial aplicado em campos escalares para medir a curvatura.
Sobre o exposto, analise as afirmativas a seguir:
I. O divergente do gradiente de um campo escalar é chamado de Laplaciano.
II. O rotacional de um campo vetorial é um campo escalar.
III. O divergente de um campo vetorial é um escalar.
IV. O gradiente de um campo escalar é um campo vetorial.
A I e III, apenas.
B I, II e IV, apenas.
C III e IV, apenas.
D I, II e III, apenas.
E I, III e IV, apenas.

Funções vetoriais são funções que atribuem a cada ponto de um domínio um vetor em um espaço vetorial. Elas são amplamente utilizadas em diversas áreas da matemática e da física, especialmente na descrição de curvas no espaço tridimensional e em campos vetoriais. As operações com funções vetoriais, como adição, subtração, multiplicação por escalar e produto escalar, são fundamentais para o estudo de curvas e superfícies, assim como para a análise de campos vetoriais em física.
Considerando o conceito de funções vetoriais e as operações entre elas, analise as afirmativas a seguir:
I. A soma de duas funções vetoriais resulta em uma nova função vetorial cujos vetores são obtidos somando-se os vetores correspondentes das funções originais.
II. A multiplicação de uma função vetorial por um escalar, sempre resulta em uma nova função vetorial cujos vetores têm a mesma direção e sentido que os vetores originais, mas com magnitude escalada.
III. A subtração de duas funções vetoriais é realizada subtraindo-se os vetores correspondentes das funções originais, resultando em um novo vetor.
IV. A multiplicação de duas funções vetoriais resulta em uma nova função vetorial, obtida multiplicando-se os vetores correspondentes das funções originais.
A III e IV, apenas.
B II e III, apenas.
C I, II e III, apenas.
D I, apenas.
E I e IV, apenas.

Se uma função escalar determina a temperatura em diferentes pontos de um espaço, por exemplo, uma função T(x, y, z) que representa a temperatura em cada ponto (x, y, z), o gradiente dessa função em um determinado ponto nos dirá:
Sobre o exposto, avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre elas:
I. Para o ponto P(5, 1, 4), o vetor gradiente apresenta magnitude de 3 °C/m.
II. Sendo o gradiente da função T o campo vetorial ∇T(x, y, z) = (2, z – 2y, y), para determinar a magnitude do vetor gradiente em um ponto específico, devemos determinar a sua norma.
A As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
B A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
C As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
D A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
E As asserções I e II são falsas.