a) Calcule 0 ângulo entre as retas: x = 2 + t = r₁: y = 1 — t z = 3 + 2t = r₂: x - 1 2 = y + 2 1 = — Z 3

Para calcular el ángulo entre las rectas dadas, primero necesitamos identificar sus vectores directores. 1. **Primera recta \( r_1 \)**: - \( x = 2 + t \) - \( y = 1 - t \) - \( z = 3 + 2t \) El vector director \( \vec{d_1} \) de \( r_1 \) es \( (1, -1, 2) \). 2. **Segunda recta \( r_2 \)**: - \( \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{1} = \frac{-z}{3} \) Para encontrar el vector director \( \vec{d_2} \), podemos reescribir las ecuaciones: - \( x = 1 + 2s \) - \( y = -2 + s \) - \( z = -3s \) El vector director \( \vec{d_2} \) de \( r_2 \) es \( (2, 1, -3) \). 3. **Cálculo del ángulo \( \theta \)**: Usamos la fórmula del producto punto: \[ \vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = |\vec{d_1}| |\vec{d_2}| \cos(\theta) \] - Producto punto: \[ \vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = 1 \cdot 2 + (-1) \cdot 1 + 2 \cdot (-3) = 2 - 1 - 6 = -5 \] - Magnitudes: \[ |\vec{d_1}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6} \] \[ |\vec{d_2}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14} \] - Sustituyendo en la fórmula: \[ -5 = \sqrt{6} \cdot \sqrt{14} \cdot \cos(\theta) \] \[ \cos(\theta) = \frac{-5}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{14}} \] 4. **Cálculo del ángulo**: Finalmente, para encontrar \( \theta \): \[ \theta = \cos^{-1}\left(\frac{-5}{\sqrt{84}}\right) \] Este es el procedimiento para calcular el ángulo entre las dos rectas. Puedes usar una calculadora para obtener el valor numérico de \( \theta \).