Dado o problema de valor inicial {y′+2y=e−4ty(0)=32 , é correto afirmar que a solução é dada por: calculo

Para resolver o problema de valor inicial dado pela equação diferencial \(y' + 2y = e^{-4t}\) com a condição inicial \(y(0) = 32\), podemos usar o método do fator integrante. 1. Identificar a equação: A equação é da forma \(y' + p(t)y = g(t)\), onde \(p(t) = 2\) e \(g(t) = e^{-4t}\). 2. Calcular o fator integrante: O fator integrante \(\mu(t)\) é dado por: \[ \mu(t) = e^{\int p(t) dt} = e^{\int 2 dt} = e^{2t}. \] 3. Multiplicar a equação pela fator integrante: \[ e^{2t}y' + 2e^{2t}y = e^{-4t}e^{2t} \implies e^{2t}y' + 2e^{2t}y = e^{-2t}. \] 4. Reescrever a equação: \[ \frac{d}{dt}(e^{2t}y) = e^{-2t}. \] 5. Integrar ambos os lados: \[ e^{2t}y = \int e^{-2t} dt = -\frac{1}{2}e^{-2t} + C. \] 6. Resolver para \(y\): \[ y = -\frac{1}{2}e^{-4t} + Ce^{-2t}. \] 7. Aplicar a condição inicial \(y(0) = 32\): \[ 32 = -\frac{1}{2} + C \implies C = 32 + \frac{1}{2} = 32.5. \] 8. Solução final: \[ y(t) = -\frac{1}{2}e^{-4t} + 32.5e^{-2t}. \] Portanto, a solução da equação diferencial com a condição inicial dada é: \[ y(t) = -\frac{1}{2}e^{-4t} + 32.5e^{-2t}. \]