Para resolver o problema, precisamos primeiro expressar o volume da embalagem em termos de \(x\). As dimensões são dadas por \(x\), \(y\) e \(z\), onde \(z = 3x + 1\). O volume \(V\) de um paralelepípedo é dado por: \[ V = x \cdot y \cdot z \] Substituindo \(z\) na equação do volume, temos: \[ V = x \cdot y \cdot (3x + 1) \] Sabemos que o volume deve ser igual a 500 cm³: \[ x \cdot y \cdot (3x + 1) = 500 \] Agora, precisamos expressar \(y\) em termos de \(x\): \[ y = \frac{500}{x(3x + 1)} \] Agora, podemos usar o método de Newton para encontrar a raiz da função. Precisamos definir uma função \(f(x)\) que iguale a expressão do volume a 500: \[ f(x) = x \cdot \frac{500}{x(3x + 1)} \cdot (3x + 1) - 500 \] Simplificando, temos: \[ f(x) = 500 - 500 = 0 \] Agora, precisamos calcular a derivada \(f'(x)\) e aplicar o método de Newton: \[ f'(x) = \text{(derivada de } f(x) \text{ em relação a } x\text{)} \] A partir daqui, você pode aplicar o método de Newton: \[ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \] Inicie com um valor em \(x\) no intervalo [4,5] e continue iterando até que a tolerância \(\epsilon \leq 10^{-4}\) seja alcançada. Lembre-se de que o cálculo da derivada e a iteração podem ser feitos com uma calculadora ou software que suporte cálculos numéricos. Boa sorte!