Para determinar a direção de maior inclinação da função \( f(x, y) = 1000 - x^2 - y^2 \) no ponto \( (10, 10) \), precisamos calcular o gradiente da função, que é dado por: \[ \nabla f(x, y) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) \] 1. Calcule as derivadas parciais: - \( \frac{\partial f}{\partial x} = -2x \) - \( \frac{\partial f}{\partial y} = -2y \) 2. Avalie o gradiente no ponto \( (10, 10) \): - \( \frac{\partial f}{\partial x} \bigg|_{(10, 10)} = -2(10) = -20 \) - \( \frac{\partial f}{\partial y} \bigg|_{(10, 10)} = -2(10) = -20 \) 3. Forme o vetor gradiente: - \( \nabla f(10, 10) = (-20, -20) \) 4. Direção de maior inclinação: A direção de maior inclinação é dada pelo vetor gradiente. Para encontrar a direção, podemos normalizar o vetor: \[ \text{Módulo do vetor} = \sqrt{(-20)^2 + (-20)^2} = \sqrt{400 + 400} = \sqrt{800} = 20\sqrt{2} \] \[ \text{Vetor unitário} = \left( \frac{-20}{20\sqrt{2}}, \frac{-20}{20\sqrt{2}} \right) = \left( \frac{-1}{\sqrt{2}}, \frac{-1}{\sqrt{2}} \right) \] Portanto, a direção de maior inclinação do ponto \( (10, 10) \) ao topo da montanha é na direção do vetor \( (-1, -1) \) ou, em termos de ângulo, 45 graus em relação ao eixo negativo \( x \) e \( y \).