Trigonometria no Triângulo Retângulo, Lei dos Senos e Lei dos Cossenos

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Prof. Marco Paiva – Matemática – 
Trigonometria no Triângulo Retângulo 
1. (Espcex (Aman) 2014) Um tenente do 
Exército está fazendo um levantamento 
topográfico da região onde será realizado um 
exercício de campo. Ele quer determinar a 
largura do rio que corta a região e por isso adotou 
os seguintes procedimentos: marcou dois pontos, 
A (uma árvore que ele observou na outra 
margem) e B (uma estaca que ele fincou no chão 
na margem onde ele se encontra); marcou um 
ponto C distante 9 metros de B, fixou um 
aparelho de medir ângulo (teodolito) de tal modo 
que o ângulo no ponto B seja reto e obteve uma 
medida de 
3
π
 rad para o ângulo ˆACB. 
 
Qual foi a largura do rio que ele encontrou? 
a) 9 3 metros 
b) 3 3 metros 
c) 
9 3
metros
2
 
d) 3 metros 
e) 4,5 metros 
 
2. (Uepa 2014) Num dos trabalhos escritos no 
começo do século V d.C. na Índia, encontramos 
uma tabela “meias-cordas”, representado na 
figura abaixo. Essas “meias-cordas” representam 
os nossos atuais senos. Os indianos pensavam na 
meia-corda como o real segmento em um círculo 
com raio particular, como, por exemplo, ocorre 
no livro Almagest de Claudius Ptolomeu (85 – 
165), que utilizou um círculo de raio 60. 
Texto adaptado do livro A Matemática através 
dos tempos, Editora Edgard Blücher, 2008. 
 
 
 
Utilizando o mesmo raio considerado por 
Ptolomeu, o valor da meia corda indicado na 
figura para um ângulo de 45θ   é: 
a) 30 2. 
b) 15 2. 
c) 15 2 2. 
d) 2 2. 
e) 2 4. 
 
3. (Unifor 2014) Sobre uma rampa de 3m de 
comprimento e inclinação de 30 com a 
horizontal, devem-se construir degraus de altura 
30cm. 
 
 
 
Quantos degraus devem ser construídos? 
a) 4 
b) 5 
c) 6 
d) 7 
e) 8 
 
4. (G1 - cps 2014) O passeio em teleférico é uma 
opção turística em várias cidades do mundo. 
O teleférico mais alto e o segundo mais longo do 
mundo fica na cidade de Mérida, Venezuela, 
unindo a cidade ao Pico Espejo, cujo topo está a 
uma altura de 4 765 metros acima do nível do 
mar. 
 
 
 
O teleférico sai da estação de Barinitas, a 1 577 
metros acima do nível do mar, na cidade de 
Mérida e, depois de se deslocar 12,5 km, atinge 
o topo do Pico Espejo. 
Considere que o cabo do teleférico seja 
completamente esticado e que θ seja o ângulo, 
com vértice na estação de Barinitas, formado 
pelo cabo do teleférico e a horizontal, conforme 
a figura. 
 
 
 
 
Nessas condições, o valor aproximado do ângulo 
θ é 
 
Utilize: 
 
medida 
do 
ângulo 
seno cosseno tangente 
11º 0,191 0,982 0,194 
15º 0,259 0,966 0,268 
18º 0,309 0,951 0,325 
22º 0,375 0,927 0,404 
25° 0,423 0,906 0,467 
 
a) 11°. 
b) 15°. 
c) 18°. 
d) 22°. 
e) 25°. 
 
5. (Uemg 2014) Em uma de suas viagens para o 
exterior, Luís Alves e Guiomar observaram um 
monumento de arquitetura asiática. Guiomar, 
interessada em aplicar seus conhecimentos 
matemáticos, colocou um teodolito distante 1,20 
m da obra e obteve um ângulo de 60°, conforme 
mostra a figura: 
 
 
 
Sabendo-se que a altura do teodolito corresponde 
a 130 cm, a altura do monumento, em metros, é 
aproximadamente 
a) 6,86. 
b) 6,10. 
c) 5,24. 
d) 3,34. 
 
6. (G1 - ifce 2014) Uma rampa faz um ângulo de 
30° com o plano horizontal. Uma pessoa que 
subiu 20 metros dessa rampa se encontra a altura 
de ___ do solo. 
a) 6 metros. 
b) 7 metros. 
c) 8 metros. 
d) 9 metros. 
e) 10 metros. 
 
7. (Ufg 2014) Um navio, que possui 20 m de 
altura sobre a água, passa por um canal e, em 
certo momento, o capitão da embarcação avista 
uma ponte plana sobre o canal, a qual ele 
desconhece as dimensões e tem de decidir se o 
navio pode passar sob a ponte. Para isso, ele 
inicia uma série de cálculos e medições. A 
primeira constatação que ele faz é a de que, a uma 
certa distância, d, da projeção da base da ponte, a 
inclinação do segmento que une a parte retilínea 
inferior da ponte e o ponto mais avançado do 
navio, que está a 4 m de altura sobre a água, é de 
7°. Percorridos 102 m em linha reta em direção à 
ponte, ele volta a medir a inclinação, obtendo um 
ângulo de 10°, e verifica que a distância entre a 
parte retilínea inferior da ponte e o ponto mais 
avançado do navio é de 100 m, como ilustra a 
figura a seguir. 
 
 
 
Diante do exposto, admitindo que a superfície do 
rio é plana, determine a altura da ponte e conclua 
se esta é suficiente para que o navio passe sob ela. 
 
Dados: tg(7 ) 0,12 e cos(10 ) 0,98    
 
8. (Unifor 2014) Uma pessoa está a 80 3 m de 
um prédio e vê o topo do prédio sob um ângulo 
de 30 , como mostra a figura abaixo. 
 
 
 
Se o aparelho que mede o ângulo está a 1,6 m 
de distância do solo, então podemos afirmar que 
a altura do prédio em metros é: 
a) 80,2 
b) 81,6 
c) 82,0 
d) 82,5 
e) 83,2 
 
 
 
 
 
 
 Prof. Marco Paiva – Matemática 
Lei dos Senos e Lei dos Cossenos 
1. (Ufsm) A figura a seguir apresenta o delta do 
rio Jacuí, situado na região metropolitana de 
Porto Alegre. Nele se encontra o parque estadual 
Delta do Jacuí, importante parque de preservação 
ambiental. Sua proximidade com a região 
metropolitana torna-o suscetível aos impactos 
ambientais causados pela atividade humana. 
 
 
 
A distância do ponto B ao ponto C é de 8 km, o 
ângulo A mede 45° e o ângulo Cmede 75°. Uma 
maneira de estimar quanto do Delta do Jacuí está 
sob influência do meio urbano é dada pela 
distância do ponto A ao ponto C. Essa distância, 
em km, é 
a) 
8 6
3
 
b) 4 6 
c) 8 2 3 
d) 8( 2 3) 
e) 
2 6
3
 
 
2. (Unesp) Uma pessoa se encontra no ponto A 
de uma planície, às margens de um rio e vê, do 
outro lado do rio, o topo do mastro de uma 
bandeira, ponto B. Com o objetivo de determinar 
a altura h do mastro, ela anda, em linha reta, 50 
m para a direita do ponto em que se encontrava e 
marca o ponto C. Sendo D o pé do mastro, avalia 
que os ângulos BÂC e valem 30°, e o 
vale 105°, como mostra a figura: 
 
 
a) 12,5. 
b) 12,5 2 . 
c) 25,0. 
d) 25,0 2 . 
e) 35,0. 
 
3. (Ufjf) Uma praça circular de raio R foi 
construída a partir da planta a seguir: 
 
 
 
Os segmentos AB, BC e CA simbolizam 
ciclovias construídas no interior da praça, sendo 
que AB 80 m. De acordo com a planta e as 
informações dadas, é CORRETO afirmar que a 
medida de R é igual a: 
a) 
160 3
m
3
 
b) 
80 3
m
3
 
c) 
16 3
m
3
 
d) 
8 3
m
3
 
e) 
3
m
3
 
 
4. (Ufpb) A prefeitura de certa cidade vai 
construir, sobre um rio que corta essa cidade, 
uma ponte que deve ser reta e ligar dois pontos, 
A e B, localizados nas margens opostas do rio. 
Para medir a distância entre esses pontos, um 
topógrafo localizou um terceiro ponto, C, 
distante 200m do ponto A e na mesma margem 
do rio onde se encontra o ponto A. Usando um 
teodolito (instrumento de precisão para medir 
ângulos horizontais e ângulos verticais, muito 
empregado em trabalhos topográficos), o 
topógrafo observou que os ângulos B Ĉ A e C Â
B mediam, respectivamente, 30º e 105º, 
conforme ilustrado na figura a seguir. 
 
 
 
 
Com base nessas informações, é correto afirmar 
que a distância, em metros, do ponto A ao ponto 
B é de: 
a) 200 2 
b) 180 2 
c) 150 2 
d) 100 2 
e) 50 2 
 
5. (G1 - cftmg) Um grupo de escoteiros pretende 
escalar uma montanha ate o topo, representado 
na figura abaixo pelo ponto D, visto sob ângulos 
de 40° do acampamento B e de 60° do 
acampamento A. 
 
Dado: sen 20º 0,342 
 
 
 
Considerando que o percurso de 160 m entre A e 
B e realizado segundo um angulo de 30° em 
relação a base da montanha, então, a distância 
entre B e D, em m, e de, aproximadamente, 
a) 190. 
b) 234. 
c) 260. 
d) 320.6. (Ufsm) A caminhada é uma das atividades 
físicas que, quando realizada com frequência, 
torna-se eficaz na prevenção de doenças crônicas 
e na melhora da qualidade de vida. 
Para a prática de uma caminhada, uma pessoa sai 
do ponto A, passa pelos pontos B e C e retorna 
ao ponto A, conforme trajeto indicado na figura. 
 
 
 
Quantos quilômetros ela terá caminhado, se 
percorrer todo o trajeto? 
a) 2,29. 
b) 2,33. 
c) 3,16. 
d) 3,50. 
e) 4,80. 
 
7. (Uftm) Na figura estão posicionadas as 
cidades vizinhas A, B e C, que são ligadas por 
estradas em linha reta. Sabe-se que, seguindo por 
essas estradas, a distância entre A e C é de 24 km, 
e entre A e B é de 36 km. 
 
 
 
Nesse caso, pode-se concluir que a distância, em 
km, entre B e C é igual a 
a) 8 17. 
b) 12 19. 
c) 12 23. 
d) 20 15. 
e) 20 13. 
 
8. (Ufpb) Para explorar o potencial turístico de 
uma cidade, conhecida por suas belas paisagens 
montanhosas, o governo pretende construir um 
teleférico, ligando o terminal de transportes 
coletivos ao pico de um morro, conforme a figura 
a seguir. 
 
 
 
 
Para a construção do teleférico, há duas 
possibilidades: 
• o ponto de partida ficar localizado no terminal 
de transportes coletivos (ponto A), com uma 
parada intermediária (ponto B), e o ponto de 
chegada localizado no pico do morro (ponto C); 
• o ponto de partida ficar localizado no ponto A e 
o de chegada localizado no ponto C, sem parada 
intermediária. 
 
Supondo que 
AB 300 3 m, BC 200 m,   BÂP = 20º 
e ˆCBN 50  , é correto afirmar que a distância 
entre os pontos A e C é de: 
a) 700 m 
b) 702 m 
c) 704 m 
d) 706 m 
e) 708 m 
 
9. (Ufpr) Dois navios deixam um porto ao 
mesmo tempo. O primeiro viaja a uma 
velocidade de 16 km/h em um curso de 45° em 
relação ao norte, no sentido horário. O segundo 
viaja a uma velocidade 6 km/h em um curso de 
105° em relação ao norte, também no sentido 
horário. Após uma hora de viagem, a que 
distância se encontrarão separados os navios, 
supondo que eles tenham mantido o mesmo curso 
e velocidade desde que deixaram o porto? 
a) 10 km. 
b) 14 km. 
c) 15 km. 
d) 17 km. 
e) 22 km.