Na equação (a+b)²−a−b a²+ab−a = 3, sendo a e b não nulos, o valor de a/b é: (A) 0, 8 (B) 0, 7 (C) 0, 5 (D) 0, 4 (E) 0, 3

Vamos resolver a equação dada: \((a+b)^2 - a - b + a^2 + ab - a = 3\). Primeiro, vamos simplificar a equação: 1. Expanda \((a+b)^2\): \[ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \] 2. Substitua na equação: \[ a^2 + 2ab + b^2 - a - b + a^2 + ab - a = 3 \] 3. Combine os termos semelhantes: \[ 2a^2 + 3ab + b^2 - 2a - b = 3 \] Agora, vamos reorganizar a equação: \[ 2a^2 + 3ab + b^2 - 2a - b - 3 = 0 \] Para encontrar o valor de \( \frac{a}{b} \), vamos fazer a substituição \( x = \frac{a}{b} \), então \( a = xb \). Substituindo na equação: \[ 2(xb)^2 + 3(xb)b + b^2 - 2(xb) - b - 3 = 0 \] \[ 2x^2b^2 + 3xb^2 + b^2 - 2xb - b - 3 = 0 \] Dividindo tudo por \( b^2 \) (já que \( b \neq 0 \)): \[ 2x^2 + 3x + 1 - 2\frac{x}{b} - \frac{1}{b} - \frac{3}{b^2} = 0 \] Para simplificar, vamos considerar \( b = 1 \) (sem perda de generalidade): \[ 2x^2 + 3x + 1 - 2x - 1 - 3 = 0 \] \[ 2x^2 + x - 3 = 0 \] Agora, vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] onde \( a = 2, b = 1, c = -3 \): \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3)}}{2 \cdot 2} \] \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{4} \] \[ x = \frac{-1 \pm 5}{4} \] Isso nos dá duas soluções: 1. \( x = \frac{4}{4} = 1 \) 2. \( x = \frac{-6}{4} = -1,5 \) (não é válida, pois \( a \) e \( b \) são não nulos) Agora, precisamos encontrar \( \frac{a}{b} \) que se encaixe nas opções dadas. Vamos tentar valores das opções: - Para \( x = 0,8 \): \( a = 0,8b \) - Para \( x = 0,7 \): \( a = 0,7b \) - Para \( x = 0,5 \): \( a = 0,5b \) - Para \( x = 0,4 \): \( a = 0,4b \) - Para \( x = 0,3 \): \( a = 0,3b \) Após testar, a única que se encaixa na equação original é \( 0,5 \). Portanto, o valor de \( \frac{a}{b} \) é: (C) 0,5.