Para responder à sua pergunta, precisamos analisar cada uma das sentenças em relação ao sistema linear mencionado. Como não temos os detalhes do sistema específico, vamos considerar as afirmações de forma geral: I- O sistema é impossível, para todo k real diferente de -21. Essa afirmação pode ser verdadeira se, ao substituir k por valores diferentes de -21, o determinante da matriz se tornar zero, indicando que não há soluções. Precisamos de mais informações para confirmar. II- O sistema é possível e indeterminado, para todo k real diferente de -63. Essa afirmação sugere que, para valores de k diferentes de -63, o sistema tem infinitas soluções. Isso pode ser verdade, mas depende da estrutura do sistema. III- O sistema é possível e determinado, para todo k real diferente de -21. Essa afirmação indica que, para valores de k diferentes de -21, o sistema tem uma única solução. Isso também depende do determinante e da estrutura do sistema. IV- O sistema é possível e indeterminado, para todo k real diferente de -3. Novamente, isso sugere que, para valores de k diferentes de -3, o sistema tem infinitas soluções, o que pode ser verdade dependendo do sistema. Sem os detalhes específicos do sistema, não podemos afirmar com certeza qual alternativa é correta. No entanto, se considerarmos que a análise de sistemas lineares geralmente envolve a condição do determinante, a alternativa que parece mais plausível, considerando a terminologia comum, seria a que indica que o sistema é possível e determinado, o que geralmente ocorre quando o determinante não é zero. Portanto, a alternativa que parece mais correta, considerando a análise típica de sistemas lineares, é: C Somente a sentença III está correta.