Vamos analisar a equação diferencial dada: \( y'' + 2y' - 15y = 0 \). Primeiro, identificamos os coeficientes da equação característica associada, que é da forma \( ar^2 + br + c = 0 \). Neste caso, temos: - \( a = 1 \) - \( b = 2 \) - \( c = -15 \) A equação característica é, portanto: \[ r^2 + 2r - 15 = 0 \] Agora, vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara: \[ r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Substituindo os valores: \[ r = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15)}}{2 \cdot 1} \] \[ r = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2} \] \[ r = \frac{-2 \pm \sqrt{64}}{2} \] \[ r = \frac{-2 \pm 8}{2} \] Agora, calculamos as duas raízes: 1. \( r_1 = \frac{6}{2} = 3 \) 2. \( r_2 = \frac{-10}{2} = -5 \) Portanto, as raízes da equação característica são \( r_1 = 3 \) e \( r_2 = -5 \). Analisando as alternativas: a) m=5 e r2=-3. b) r= 2 e e # 1. c) r1 = 3 e r2 = -5. d) n = -1 e r2 = 0. e) r1 = -2 e r2 = 3. A alternativa correta é: c) r1 = 3 e r2 = -5.