Para analisar a série harmônica \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \), vamos aplicar o teste da integral. 1. A função \( f(x) = \frac{1}{x} \) é contínua, positiva e decrescente para \( x \geq 1 \). 2. Calculamos a integral \( \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} \, dx \): \[ \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} \, dx = \lim_{b \to \infty} \left[ \ln(x) \right]_{1}^{b} = \lim_{b \to \infty} (\ln(b) - \ln(1)) = \lim_{b \to \infty} \ln(b) = \infty. \] Portanto, a integral diverge. 3. De acordo com o teste da integral, se a integral diverge, a série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \) também diverge. Agora, vamos analisar as alternativas: a. \( \int_{1}^{\infty} f(x) \, dx \) diverge; a série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \) diverge. (Correta) b. \( \int_{1}^{\infty} f(x) \, dx \) diverge; a série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \) converge. (Incorreta) c. \( \int_{1}^{\infty} f(x) \, dx \) converge; a série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \) converge. (Incorreta) d. \( \int_{1}^{\infty} f(x) \, dx \) diverge; a série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \) diverge. (Correta) e. \( \int_{1}^{\infty} f(x) \, dx \) converge; a série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \) diverge. (Incorreta) As alternativas corretas são a) e d), mas como a pergunta pede uma única alternativa, a mais completa e correta é: a) \( \int_{1}^{\infty} f(x) \, dx \) diverge; a série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \) diverge.