3 Lista de Exercícios - Cálculo II_240613_222449 (1)

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<p>Universidade Estadual de Montes Claros - Unimontes</p><p>Departamento de Ciências da Computação</p><p>Curso: Engenharia de Sistemas - Profª: Dayane A. Queiróz</p><p>3a LISTA DE EXERCÍCIOS</p><p>1. Encontre uma fórmula para o termo geral an da sequência assumindo que o padrão dos</p><p>primeiros termos continua:</p><p>(a)</p><p>(</p><p>1</p><p>2</p><p>, 1</p><p>4</p><p>, 1</p><p>8</p><p>, 1</p><p>16</p><p>, . . .</p><p>)</p><p>.</p><p>(b)</p><p>(</p><p>1, −2</p><p>3</p><p>, 4</p><p>9</p><p>,− 8</p><p>27</p><p>, . . .</p><p>)</p><p>.</p><p>(c) (0, 2, 0, 2, 0, . . .).</p><p>2. Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.</p><p>(a) an =</p><p>3 + 5n2</p><p>n+ n2</p><p>;</p><p>(b) an = n sin( 1</p><p>n</p><p>);</p><p>(c) an =</p><p>√</p><p>n+ 1−</p><p>√</p><p>n;</p><p>(d) an =</p><p>(</p><p>1 + 2</p><p>n</p><p>) 1</p><p>n .</p><p>3.</p><p>(a) Se (an) é convergente, mostre que</p><p>lim</p><p>n→+∞</p><p>an+1 = lim</p><p>n→+∞</p><p>an.</p><p>(b) Seja an definida por a1 = 1 e an+1 =</p><p>1</p><p>1 + an</p><p>, se n ≥ 1. Assumindo que an é convergente</p><p>encontre seu limite.</p><p>4. Verifique se a sequência dada é crescente ou descrescente.</p><p>(a) an = 1</p><p>5n</p><p>;</p><p>(b) an = 2n−3</p><p>3n+4</p><p>;</p><p>(c) an = n</p><p>n2+1</p><p>.</p><p>5. Considere a sequência a1 =</p><p>√</p><p>2, a2 =</p><p>√</p><p>2</p><p>√</p><p>2, a3 =</p><p>√</p><p>2</p><p>√</p><p>2</p><p>√</p><p>2, . . .</p><p>(a) Verifique que a sequência é crescente e limitada superiormente por 2.</p><p>(b) Calcule lim</p><p>n→+∞</p><p>an.</p><p>6. Seja an uma sequência dada por a1 =</p><p>√</p><p>2, an+1 =</p><p>√</p><p>2 + an, se n ≥ 1.</p><p>(a) Mostre que an é crescente e limitada superiormente por 3. Deduza que an é convergente.</p><p>1</p><p>(b) Calcule lim</p><p>n→+∞</p><p>an.</p><p>7.</p><p>(a) Calcule a soma dos n primeiros números ímpares, isto é,</p><p>1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n− 1).</p><p>(b) Mostre que a série</p><p>+∞∑</p><p>n=1</p><p>(2n− 1) é divergente;</p><p>8. Mostre que a função f(x) determinada por an da série verifica a hipótese do Critério da</p><p>Integral. Use o critério para determinar se a série converge ou diverge.</p><p>(a)</p><p>∑</p><p>1</p><p>(3+2n)2</p><p>;</p><p>(b)</p><p>∑</p><p>n2e−n3 ;</p><p>(c)</p><p>+∞∑</p><p>n=2</p><p>1</p><p>n</p><p>√</p><p>n2−1</p><p>;</p><p>(d)</p><p>+∞∑</p><p>n=0</p><p>1</p><p>n2+1</p><p>;</p><p>(e)</p><p>+∞∑</p><p>n=2</p><p>1</p><p>n2lnn</p><p>;</p><p>9. Verifique se as séries são convergentes ou divergentes.</p><p>(a)</p><p>+∞∑</p><p>n=0</p><p>ne−n;</p><p>(b)</p><p>+∞∑</p><p>n=0</p><p>1</p><p>2n+1</p><p>;</p><p>(c)</p><p>+∞∑</p><p>n=0</p><p>logn</p><p>n</p><p>;</p><p>(d)</p><p>+∞∑</p><p>n=0</p><p>1</p><p>2n−1 ;</p><p>(e)</p><p>+∞∑</p><p>n=2</p><p>n</p><p>2n3−n+1</p><p>;</p><p>(f)</p><p>+∞∑</p><p>n=2</p><p>n2−3</p><p>n9+n2+1</p><p>.</p><p>10. Considere a série</p><p>+∞∑</p><p>n=1</p><p>n</p><p>(n+ 1)!</p><p>(a) Calcule as somas parciais S1, S2, S3 e S4. Você reconhece os denominadores? Use o</p><p>padrão para estimar uma fórmula para Sn.</p><p>(b) Mostre que a série infinita dada é convergente e calcule sua soma.</p><p>11. Verifique se as séries dadas são convergentes ou divergentes.</p><p>2</p><p>(a)</p><p>+∞∑</p><p>n=1</p><p>(n!)2</p><p>(2n)!</p><p>;</p><p>(b)</p><p>+∞∑</p><p>n=1</p><p>1</p><p>1+3n</p><p>;</p><p>(c)</p><p>+∞∑</p><p>n=1</p><p>1</p><p>2n−1</p><p>;</p><p>(d)</p><p>+∞∑</p><p>n=1</p><p>n</p><p>3n</p><p>.</p><p>12. Verifique para quais valores de x, as séries abaixo convergem.</p><p>(a)</p><p>+∞∑</p><p>n=1</p><p>xn</p><p>nn ;</p><p>(b)</p><p>+∞∑</p><p>n=1</p><p>n!xn;</p><p>(c)</p><p>+∞∑</p><p>n=1</p><p>xn</p><p>2+n2 ;</p><p>(d)</p><p>+∞∑</p><p>n=1</p><p>nkxn;</p><p>(e)</p><p>+∞∑</p><p>n=1</p><p>nnxn.</p><p>13. Verifique se a série satisfaz as duas condições do Critério das séries alternadas e determine</p><p>se a série converge ou diverge.</p><p>(a)</p><p>+∞∑</p><p>n=0</p><p>(−1)n e2n+1</p><p>e2n</p><p>;</p><p>(b)</p><p>+∞∑</p><p>n=1</p><p>(−1)n−1 1</p><p>n2+7</p><p>.</p><p>14. Calcule cada integral abaixo e responda se é convergente ou divergente.</p><p>(a)</p><p>∫∞</p><p>1</p><p>1</p><p>(3x+ 1)2</p><p>dx;</p><p>(b)</p><p>∫ 0</p><p>−∞</p><p>1</p><p>2x− 5</p><p>dx;</p><p>(c)</p><p>∫∞</p><p>4</p><p>e−</p><p>y</p><p>2 dy;</p><p>(d)</p><p>∫∞</p><p>−∞ xe−x2</p><p>dx;</p><p>(e)</p><p>∫ 3</p><p>0</p><p>1√</p><p>x</p><p>dx;</p><p>(f)</p><p>∫ 9</p><p>1</p><p>1</p><p>3</p><p>√</p><p>x− 9</p><p>dx;</p><p>(g)</p><p>∫ 3</p><p>−2</p><p>1</p><p>x4</p><p>dx.</p><p>3</p>