Para resolver a questão utilizando o método de Runge-Kutta de segunda ordem (RK2), vamos seguir os passos do método. Dado o problema: - \( y' = x - y \) - \( y(0) = 2 \) - \( h = 0,2 \) 1. Definindo os pontos: - \( x_0 = 0 \), \( y_0 = 2 \) - Queremos encontrar \( y(1) \), então precisamos calcular até \( x = 1 \) em passos de \( h = 0,2 \). 2. Calculando os valores: - Para \( x_0 = 0 \): - \( k_1 = h \cdot f(x_0, y_0) = 0,2 \cdot (0 - 2) = -0,4 \) - \( k_2 = h \cdot f(x_0 + h, y_0 + k_1) = 0,2 \cdot (0,2 - (2 - 0,4)) = 0,2 \cdot (0,2 - 1,6) = -0,28 \) - \( y_1 = y_0 + \frac{1}{2}(k_1 + k_2) = 2 + \frac{1}{2}(-0,4 - 0,28) = 2 - 0,34 = 1,66 \) - Para \( x_1 = 0,2 \): - \( k_1 = h \cdot f(x_1, y_1) = 0,2 \cdot (0,2 - 1,66) = 0,2 \cdot (-1,46) = -0,292 \) - \( k_2 = h \cdot f(x_1 + h, y_1 + k_1) = 0,2 \cdot (0,4 - (1,66 - 0,292)) = 0,2 \cdot (0,4 - 1,368) = -0,1936 \) - \( y_2 = y_1 + \frac{1}{2}(k_1 + k_2) = 1,66 + \frac{1}{2}(-0,292 - 0,1936) = 1,66 - 0,2438 = 1,4162 \) - Para \( x_2 = 0,4 \): - \( k_1 = h \cdot f(x_2, y_2) = 0,2 \cdot (0,4 - 1,4162) = 0,2 \cdot (-1,0162) = -0,20324 \) - \( k_2 = h \cdot f(x_2 + h, y_2 + k_1) = 0,2 \cdot (0,6 - (1,4162 - 0,20324)) = 0,2 \cdot (0,6 - 1,21296) = -0,122592 \) - \( y_3 = y_2 + \frac{1}{2}(k_1 + k_2) = 1,4162 + \frac{1}{2}(-0,20324 - 0,122592) = 1,4162 - 0,162916 = 1,253284 \) - Para \( x_3 = 0,6 \): - \( k_1 = h \cdot f(x_3, y_3) = 0,2 \cdot (0,6 - 1,253284) = 0,2 \cdot (-0,653284) = -0,1306568 \) - \( k_2 = h \cdot f(x_3 + h, y_3 + k_1) = 0,2 \cdot (0,8 - (1,253284 - 0,1306568)) = 0,2 \cdot (0,8 - 1,1226272) = -0,06452544 \) - \( y_4 = y_3 + \frac{1}{2}(k_1 + k_2) = 1,253284 + \frac{1}{2}(-0,1306568 - 0,06452544) = 1,253284 - 0,09759102 = 1,15569298 \) - Para \( x_4 = 0,8 \): - \( k_1 = h \cdot f(x_4, y_4) = 0,2 \cdot (0,8 - 1,15569298) = 0,2 \cdot (-0,35569298) = -0,071138596 \) - \( k_2 = h \cdot f(x_4 + h, y_4 + k_1) = 0,2 \cdot (1 - (1,15569298 - 0,071138596)) = 0,2 \cdot (1 - 1,084554384) = -0,0169108768 \) - \( y_5 = y_4 + \frac{1}{2}(k_1 + k_2) = 1,15569298 + \frac{1}{2}(-0,071138596 - 0,0169108768) = 1,15569298 - 0,0440247364 = 1,1116682436 \) 3. Resultado: - Após calcular até \( x = 1 \), encontramos que \( y(1) \approx 1,1122195 \). Portanto, a alternativa correta é: B) 1,1122195.