Obtenha o polinômio de Lagrange que interpola os pontos A(2, 3), B(3, 5), C(4, 4), D(5, 6) e E(6, 7).

Para obter o polinômio de Lagrange que interpola os pontos A(2, 3), B(3, 5), C(4, 4), D(5, 6) e E(6, 7), utilizamos a fórmula do polinômio de Lagrange: \[ P(x) = \sum_{i=0}^{n} y_i \cdot L_i(x) \] onde \( L_i(x) \) é dado por: \[ L_i(x) = \prod_{\substack{0 \leq j \leq n \\ j \neq i}} \frac{x - x_j}{x_i - x_j} \] Os pontos são: - A(2, 3) → \( (x_0, y_0) = (2, 3) \) - B(3, 5) → \( (x_1, y_1) = (3, 5) \) - C(4, 4) → \( (x_2, y_2) = (4, 4) \) - D(5, 6) → \( (x_3, y_3) = (5, 6) \) - E(6, 7) → \( (x_4, y_4) = (6, 7) \) Agora, calculamos cada \( L_i(x) \): 1. Para \( L_0(x) \): \[ L_0(x) = \frac{(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)}{(2-3)(2-4)(2-5)(2-6)} = \frac{(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)}{(-1)(-2)(-3)(-4)} = \frac{(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)}{24} \] 2. Para \( L_1(x) \): \[ L_1(x) = \frac{(x-2)(x-4)(x-5)(x-6)}{(3-2)(3-4)(3-5)(3-6)} = \frac{(x-2)(x-4)(x-5)(x-6)}{(1)(-1)(-2)(-3)} = -\frac{(x-2)(x-4)(x-5)(x-6)}{6} \] 3. Para \( L_2(x) \): \[ L_2(x) = \frac{(x-2)(x-3)(x-5)(x-6)}{(4-2)(4-3)(4-5)(4-6)} = \frac{(x-2)(x-3)(x-5)(x-6)}{(2)(1)(-1)(-2)} = \frac{(x-2)(x-3)(x-5)(x-6)}{4} \] 4. Para \( L_3(x) \): \[ L_3(x) = \frac{(x-2)(x-3)(x-4)(x-6)}{(5-2)(5-3)(5-4)(5-6)} = \frac{(x-2)(x-3)(x-4)(x-6)}{(3)(2)(1)(-1)} = -\frac{(x-2)(x-3)(x-4)(x-6)}{6} \] 5. Para \( L_4(x) \): \[ L_4(x) = \frac{(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)}{(6-2)(6-3)(6-4)(6-5)} = \frac{(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)}{(4)(3)(2)(1)} = \frac{(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)}{24} \] Agora, substituímos os \( y_i \) correspondentes: \[ P(x) = 3L_0(x) + 5L_1(x) + 4L_2(x) + 6L_3(x) + 7L_4(x) \] Substituindo os valores de \( L_i(x) \): \[ P(x) = 3 \cdot \frac{(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)}{24} - 5 \cdot \frac{(x-2)(x-4)(x-5)(x-6)}{6} + 4 \cdot \frac{(x-2)(x-3)(x-5)(x-6)}{4} - 6 \cdot \frac{(x-2)(x-3)(x-4)(x-6)}{6} + 7 \cdot \frac{(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)}{24} \] Essa expressão pode ser simplificada para obter o polinômio final. Se precisar de mais ajuda com a simplificação, é só avisar!