Calcule f ′(x) para f(x) = (2x2 + 3x)(x2 − 1).

Para calcular a derivada \( f'(x) \) da função \( f(x) = (2x^2 + 3x)(x^2 - 1) \), vamos usar a regra do produto. A regra do produto afirma que se temos duas funções \( u(x) \) e \( v(x) \), a derivada do produto delas é dada por: \[ f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \] Neste caso, temos: - \( u(x) = 2x^2 + 3x \) - \( v(x) = x^2 - 1 \) Agora, vamos calcular as derivadas \( u'(x) \) e \( v'(x) \): 1. Derivada de \( u(x) \): \[ u'(x) = \frac{d}{dx}(2x^2 + 3x) = 4x + 3 \] 2. Derivada de \( v(x) \): \[ v'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 - 1) = 2x \] Agora, aplicamos a regra do produto: \[ f'(x) = (4x + 3)(x^2 - 1) + (2x^2 + 3x)(2x) \] Agora, vamos simplificar cada parte: 1. Primeira parte: \[ (4x + 3)(x^2 - 1) = 4x^3 - 4x + 3x^2 - 3 = 4x^3 + 3x^2 - 4x - 3 \] 2. Segunda parte: \[ (2x^2 + 3x)(2x) = 4x^3 + 6x^2 \] Agora, somamos as duas partes: \[ f'(x) = (4x^3 + 3x^2 - 4x - 3) + (4x^3 + 6x^2) \] Juntando os termos semelhantes: \[ f'(x) = 8x^3 + 9x^2 - 4x - 3 \] Portanto, a derivada \( f'(x) \) é: \[ f'(x) = 8x^3 + 9x^2 - 4x - 3 \]