SE 2019 - Aula 16 - Geometria Plana PIII

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Curso Sala de Ensino 
Estrada Francisco da Cruz Nunes, 6501, Shopping Itaipu Multicenter – sala 311 
Telefone: 3587-8376 
 
 
 1 
 
 
Aluno: Data: __/__/_____ 
/___/__ 
 
Profº Carlos Henrique(Bochecha) - Aula 16 – Geometria Plana P.III 
 
Parte I. 1. (Enem 2018) Para decorar um cilindro circular reto será usada uma 
faixa retangular de papel transparente, na qual está desenhada em negrito 
uma diagonal que forma 30 com a borda inferior. O raio da base do cilindro 
mede 
6
cm,
π
 e ao enrolar a faixa obtém-se uma linha em formato de hélice, 
como na figura. 
 
 
 
O valor da medida da altura do cilindro, em centímetro, é 
a) 36 3 b) 24 3 c) 4 3 d) 36 e) 72 
 
2. (Espm 2018) A sequência S (sen 60 ,1 sen 30 , 3 cos 30 )=  +   
é: 
a) uma PA de razão tg 30 . b) uma PG de razão sen 60 . 
c) uma PA de razão tg 45 . d) uma PA de razão 1 sen 60 .+  
e) uma PG de razão tg 60 . 
 
3. (Enem (Libras) 2017) A famosa Torre de Pisa, localizada na Itália, assim 
como muitos outros prédios, por motivos adversos, sofrem inclinações durante 
ou após suas construções. 
Um prédio, quando construído, dispunha-se verticalmente e tinha 60 metros 
de altura. Ele sofreu uma inclinação de um ângulo ,α e a projeção ortogonal 
de sua fachada lateral sobre o solo tem largura medindo 1,80 metro, 
conforme mostra a figura. 
 
 
 
O valor do ângulo de inclinação pode ser determinado fazendo-se o uso de 
uma tabela como a apresentada. 
 
Ângulo α (Grau) Seno 
0,0 0,0 
1,0 0,017 
1,5 0,026 
1,8 0,031 
2,0 0,034 
3,0 0,052 
 
Uma estimativa para o ângulo de inclinação ,α quando dado em grau, é tal 
que 
 
a) 0 1,0α  b) 1,0 1,5α  c) 1,5 1,8α  
d) 1,8 2,0α  e) 2,0 3,0α  
 
4. (Pucrj 2017) Considere o quadrado ABCD como na Figura. 
 
Sabendo que E é o ponto médio do lado AB, assinale o valor de 
Ccos ( DE). 
a) 
1
2
 b) 
5
5
 c) 
2
2
 d) 
1 5
2
+
 e) 
3
2
 
 
5. (Uerj 2016) O raio de uma roda gigante de centro C mede 
CA CB 10 m.= = Do centro C ao plano horizontal do chão, há uma 
distância de 11m. Os pontos A e B, situados no mesmo plano vertical, 
ACB, pertencem à circunferência dessa roda e distam, respectivamente, 
16 m e 3,95 m do plano do chão. Observe o esquema e a tabela: 
 
 
θ 
(graus) 
senθ 
15 0,259 
30 0,500 
45 0,707 
60 0,866 
 
A medida, em graus, mais próxima do menor ângulo ACB corresponde a: 
a) 45 b) 60 c) 75 d) 105 
 
6. (Fuvest 2015) No triângulo retângulo ABC, ilustrado na figura, a 
hipotenusa AC mede 12cm e o cateto BC mede 6cm. 
 
 
 
 
 2 
 
 
Se M é o ponto médio de BC, então a tangente do ângulo MAC é igual a 
a) 
2
7
 b) 
3
7
 c) 
2
7
 d) 
2 2
7
 e) 
2 3
7
 
 
7. (Unesp 2015) A figura representa a vista superior do tampo plano e 
horizontal de uma mesa de bilhar retangular ABCD, com caçapas em A, 
B, C e D. O ponto P, localizado em AB, representa a posição de uma 
bola de bilhar, sendo PB 1,5 m= e PA 1,2 m.= Após uma tacada na 
bola, ela se desloca em linha reta colidindo com BC no ponto T, sendo a 
medida do ângulo PTB igual 60 . Após essa colisão, a bola segue, em 
trajetória reta, diretamente até a caçapa D. 
 
Nas condições descritas e adotando 3 1,73, a largura do tampo da 
mesa, em metros, é próxima de 
a) 2,42. b) 2,08. c) 2,28. d) 2,00. e) 2,56. 
 
8. (Unicamp 2013) Ao decolar, um avião deixa o solo com um ângulo 
constante de 15°. A 3,8 km da cabeceira da pista existe um morro íngreme. A 
figura abaixo ilustra a decolagem, fora de escala. 
 
 
Podemos concluir que o avião ultrapassa o morro a uma altura, a partir da sua 
base, de 
a) 3,8 tan (15°) km. b) 3,8 sen (15°) km. 
c) 3,8 cos (15°) km. d) 3,8 sec (15°) km. 
 
9. (Enem 2013) As torres Puerta de Europa são duas torres inclinadas uma 
contra a outra, construídas numa avenida de Madri, na Espanha. A inclinação 
das torres é de 15 com a vertical e elas têm, cada uma, uma altura de 
114 m (a altura é indicada na figura como o segmento AB). Estas torres 
são um bom exemplo de um prisma oblíquo de base quadrada e uma delas 
pode ser observada na imagem. 
 
Utilizando 0,26 como valor aproximado para tangente de 15 e duas 
casas decimais nas operações, descobre-se que a área da base desse prédio 
ocupa na avenida um espaço 
a) menor que 
2100 m . b) entre 
2100 m e 
2300 m . 
c) entre 
2300 m e 
2500 m . d) entre 
2500 m e 
2700 m . 
e) maior que 
2700 m . 
10. (Uerj 2013) Um esqueitista treina em três rampas planas de mesmo 
comprimento a, mas com inclinações diferentes. As figuras abaixo 
representam as trajetórias retilíneas AB CD EF,= = contidas nas retas 
de maior declive de cada rampa. 
 
Sabendo que as alturas, em metros, dos pontos de partida A, C e E são, 
respectivamente, 1 2h , h e 3h , conclui-se que 1 2h h+ é igual a: 
a) 3h 3 b) 3h 2 c) 2h3 d) h3 
 
11. (Unesp 2013) A caçamba de um caminhão basculante tem 3 m de 
comprimento das direções de seu ponto mais frontal P até a de seu eixo de 
rotação e 1m de altura entre os pontos P e Q. Quando na posição 
horizontal isto é, quando os segmentos de retas r e s se coincidirem, a 
base do fundo da caçamba distará 1,2 m do solo. Ela pode girar, no 
máximo, α graus em torno de seu eixo de rotação, localizado em sua parte 
traseira inferior, conforme indicado na figura. 
 
 
Dado cos 0,8,α = a altura, em metros, atingida pelo ponto P, em relação 
ao solo, quando o ângulo de giro α for máximo, é 
a) 4,8. b) 5,0. c) 3,8. d) 4,4. e) 4,0. 
 
12. (Enem 2011) Para determinar a distância de um barco até a praia, um 
navegante utilizou o seguinte procedimento: a partir de um ponto A, mediu o 
ângulo visual a fazendo mira em um ponto fixo P da praia. Mantendo o barco 
no mesmo sentido, ele seguiu até um ponto B de modo que fosse possível ver 
o mesmo ponto P da praia, no entanto sob um ângulo visual 2 . A figura 
ilustra essa situação: 
 
 
 
Suponha que o navegante tenha medido o ângulo 30º = e, ao chegar ao 
ponto B, verificou que o barco havia percorrido a distância AB 2000 m= . 
Com base nesses dados e mantendo a mesma trajetória, a menor distância do 
barco até o ponto fixo P será 
a) 1000 m b) 1000 3 m c) 32000 m
3
 d) 2000 m e) 2000 3 m 
 
 
 
 3 
 
 
Parte II. 1. (Uerj 2019) A figura ilustra três circunferências, de raios 1, 2 e 
3, tangentes duas a duas nos pontos M, N e P. 
 
O comprimento do segmento de reta MN é igual à raiz quadrada de: 
a) 3,6 b) 3,8 c) 4,2 d) 4,4 
 
2. (Enem 2018) A rosa dos ventos é uma figura que representa oito sentidos, 
que dividem o círculo em partes iguais. 
 
 
 
Uma câmera de vigilância está fixada no teto de um shopping e sua lente 
pode ser direcionada remotamente, através de um controlador, para qualquer 
sentido. A lente da câmera está apontada inicialmente no sentido Oeste e o 
seu controlador efetua três mudanças consecutivas, a saber: 
 
- 1ª mudança: 135 no sentido anti-horário; 
- 2ª mudança: 60 no sentido horário; 
- 3ª mudança: 45 no sentido anti-horário. 
 
Após a 3ª mudança, ele é orientado a reposicionar a câmera, com a menor 
amplitude possível, no sentido Noroeste (NO) devido a um movimento 
suspeito de um cliente. 
 
Qual mudança de sentido o controlador deve efetuar para reposicionar a 
câmera? 
a) 75 no sentido horário. 
b) 105 no sentido anti-horário. 
c) 120 no sentido anti-horário. 
d) 135 no sentido anti-horário. 
e) 165 no sentido horário. 
 
3. (Uerj 2018) No triângulo equilátero ABC, H corresponde ao ponto 
médio do lado AC. Desse modo, a áreado triângulo ABH é igual à 
metade da área de ABC. 
 
 
 
Sendo W o perímetro do triângulo ABH e Y o perímetro do triângulo 
ABC, uma relação correta entre W e Y é: 
 
a) 
Y
0 W
2
  b) 
Y
W
2
= c) 
Y
W Y
2
  d) W Y= 
 
 
4. (Uerj simulado 2018) Considere os pontos S e P, que se deslocam em 
movimento retilíneo e com velocidade constante, sendo SV 1m s= e 
PV 3,5 m s.= Eles partem no mesmo instante e se encontram no ponto 
A, conforme ilustrado abaixo. 
 
 
 
Observe na tabela os valores aproximados de seno, cosseno e tangente de 
alguns ângulos: 
 
α 15 16 17 18 19 20 
seno 0,26 0,28 0,29 0,31 0,32 0,34 
cosseno 0,98 0,97 0,96 0,95 0,945 0,94 
tangente 0,28 0,29 0,31 0,325 0,34 0,36 
 
Se o ângulo ˆASP mede 105 , a medida do ângulo agudo ˆAPS, em 
graus, é: 
a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 
 
 
5. (Enem 2017) Uma desenhista projetista deverá desenhar uma tampa de 
panela em forma circular. Para realizar esse desenho, ela dispõe, no 
momento, de apenas um compasso, cujo comprimento das hastes é de 
10 cm, um transferidor e uma folha de papel com um plano cartesiano. 
Para esboçar o desenho dessa tampa, ela afastou as hastes do compasso de 
forma que o ângulo formado por elas fosse de 120 . A ponta seca está 
representada pelo ponto C, a ponta do grafite está representada pelo ponto 
B e a cabeça do compasso está representada pelo ponto A conforme a 
figura. 
 
 
Após concluir o desenho, ela o encaminha para o setor de produção. Ao 
receber o desenho com a indicação do raio da tampa, verificará em qual 
intervalo este se encontra e decidirá o tipo de material a ser utilizado na sua 
fabricação, de acordo com os dados. 
 
 
 
 4 
 
 
Tipo de material Intervalo de valores de raio (cm) 
I 0 R 5  
II 5 R 10  
III 10 R 15  
IV 15 R 21  
V 21 R 40  
 
Considere 1,7 como aproximação para 3. 
O tipo de material a ser utilizado pelo setor de produção será 
a) I. b) II. c) III. d) IV. e) V. 
 
6. (Enem 2017) A imagem apresentada na figura é uma cópia em preto e 
branco da tela quadrada intitulada O peixe, de Marcos Pinto, que foi colocada 
em uma parede para exposição e fixada nos pontos A e B. 
Por um problema na fixação de um dos pontos, a tela se desprendeu, girando 
rente à parede. Após o giro, ela ficou posicionada como ilustrado na figura, 
formando um ângulo de 45 com a linha do horizonte. 
 
 
 
 
 
Para recolocar a tela na sua posição original, deve-se girá-la, rente à parede, 
no menor ângulo possível inferior a 360 . 
 
A forma de recolocar a tela na posição original, obedecendo ao que foi 
estabelecido, é girando-a em um ângulo de 
a) 90 no sentido horário. 
b) 135 no sentido horário. 
c) 180 no sentido anti-horário. 
d) 270 no sentido anti-horário. 
e) 315 no sentido horário. 
 
 
7. (Enem 2017) Pivô central é um sistema de irrigação muito usado na 
agricultura, em que uma área circular é projetada para receber uma estrutura 
suspensa. No centro dessa área, há uma tubulação vertical que transmite 
água através de um cano horizontal longo, apoiado em torres de sustentação, 
as quais giram, sobre rodas, em torno do centro do pivô, também chamado de 
base, conforme mostram as figuras. Cada torre move-se com velocidade 
constante. 
 
 
Um pivô de três torres 1 2(T , T e 3T ) será instalado em uma fazenda, 
sendo que as distâncias entre torres consecutivas bem como da base à torre 
1T são iguais a 50 m. O fazendeiro pretende ajustar as velocidades das 
torres, de tal forma que o pivô efetue uma volta completa em 25 horas. Use 
3 como aproximação para .π 
 
Para atingir seu objetivo, as velocidades das torres 1 2T , T e 3T devem ser, 
em metro por hora, de 
a) 12, 24 e 36. b) 6, 12 e 18. c) 2, 4 e 6. 
d) 300,1.200 e 2.700. e) 600, 2.400 e 5.400. 
 
8. (Uerj 2017) Ao coletar os dados para um estudo topográfico da margem de 
um lago a partir dos pontos A, B e T, um técnico determinou as medidas 
AT 32 m;= BT 13 m= e A B 1 ,T 20=  representadas no esquema 
abaixo. 
 
 
Calcule a distância, em metros, entre os pontos A e B, definidos pelo 
técnico nas margens desse lago. 
 
9. (Enem PPL 2016) Um ciclista A usou uma bicicleta com rodas com 
diâmetros medindo 60 cm e percorreu, com ela, 10 km. Um ciclista B 
usou outra bicicleta com rodas cujos diâmetros mediam 40 cm e percorreu, 
com ela, 5 km. 
Considere 3,14 como aproximação para .π 
A relação entre o número de voltas efetuadas pelas rodas da bicicleta do 
ciclista A e o número de voltas efetuadas pelas rodas da bicicleta do ciclista 
B é dada por 
a) 
1
2
 b) 
2
3
 c) 
3
4
 d) 
4
3
 e) 
3
2
 
 
 
 
 5 
 
 
10. (Uerj 2015) Um tubo cilíndrico cuja base tem centro F e raio r rola sem 
deslizar sobre um obstáculo com a forma de um prisma triangular regular. As 
vistas das bases do cilindro e do prisma são mostradas em três etapas desse 
movimento, I,II e III, nas figuras a seguir. 
 
 
Admita que: 
 
- as medidas do diâmetro do círculo de centro F e da altura do triângulo 
ABC são respectivamente iguais a 2 3 decímetros; 
- durante todo o percurso, o círculo e o triângulo sempre se tangenciam. 
 
Determine o comprimento total, em decímetros, do caminho descrito pelo 
centro F do círculo que representa a base do cilindro. 
 
11. (Enem PPL 2015) A figura é uma representação simplificada do carrossel 
de um parque de diversões, visto de cima. Nessa representação, os cavalos 
estão identificados pelos pontos escuros, e ocupam circunferências de raios 
3 m e 4 m, respectivamente, ambas centradas no ponto O. Em cada 
sessão de funcionamento, o carrossel efetua 10 voltas. 
 
Quantos metros uma criança sentada no cavalo 1C percorrerá a mais do que 
uma criança no cavalo 2C , em uma sessão? Use 3,0 como aproximação 
para .π 
a) 55,5 b) 60,0 c) 175,5 d) 235,5 e) 240,0 
 
12. (Uerj 2014) Uma máquina possui duas engrenagens circulares, sendo a 
distância entre seus centros A e B igual a 11cm, como mostra o 
esquema: 
 
 
 
Sabe-se que a engrenagem menor dá 1000 voltas no mesmo tempo em 
que a maior dá 375 voltas, e que os comprimentos dos dentes de ambas 
têm valores desprezíveis. 
A medida, em centímetros, do raio da engrenagem menor equivale a: 
a) 2,5 b) 3,0 c) 3,5 d) 4,0 
 
13. (Enem PPL 2014) Um homem, determinado a melhorar sua saúde, 
resolveu andar diariamente numa praça circular que há em frente à sua casa. 
Todos os dias ele dá exatamente 15 voltas em torno da praça, que tem 
50 m de raio. 
Use 3 como aproximação para .π 
 
Qual é a distância percorrida por esse homem em sua caminhada diária? 
a) 0,30 km b) 0,75 km c) 1,50 km d) 2,25 km e) 4,50 km 
 
14. (Enem 2013) Um restaurante utiliza, para servir bebidas, bandejas com 
base quadradas. Todos os copos desse restaurante têm o formato 
representado na figura: 
 
Considere que 
7
AC BD
5
= e que é a medida de um dos lados da base 
da bandeja. 
Qual deve ser o menor valor da razão 
BD
 para que uma bandeja tenha 
capacidade de portar exatamente quatro copos de uma só vez? 
a) 2 b) 
14
5
 c) 4 d) 
24
5
 e) 
28
5
 
 
15. (Enem 2012) Em 20 de fevereiro de 2011 ocorreu a grande erupção do 
vulcão Bulusan nas Filipinas. A sua localização geográfica no globo terrestre é 
dada pelo GPS (sigla em inglês para Sistema de Posicionamento Global) com 
longitude de 124° 3’ 0” a leste do Meridiano de Greenwich. 
Dado: 1° equivale a 60’ e 1’ equivale a 60”. 
 
PAVARIN, G. Galileu, fev. 2012 (adaptado) 
 
A representação angular da localização do vulcão com relação a sua longitude 
da forma decimal é 
a) 124,02°. b) 124,05°. c) 124,20°. d) 124,30°. e) 124,50°. 
 
16. (Enem PPL 2012) Durante seu treinamento, um atleta percorre metade de 
uma pista circular de raio R, conforme figuraa seguir. A sua largada foi dada 
na posição representada pela letra L, a chegada está representada pela letra 
C e a letra A representa o atleta. O segmento LC é um diâmetro da 
circunferência e o centro da circunferência está representado pela letra F. 
Sabemos que, em qualquer posição que o atleta esteja na pista, os 
segmentos LA e AC são perpendiculares. Seja θ o ângulo que o segmento 
AF faz com segmento FC. 
 
 
 
Quantos graus mede o ângulo θ quando o segmento AC medir R durante a 
corrida? 
a) 15 graus b) 30 graus c) 60 graus d) 90 graus e) 120 graus 
 
17. (Uerj 2012) A figura abaixo representa um círculo de centro O e uma 
régua retangular, graduada em milímetros. Os pontos A, E e O pertencem à 
régua e os pontos B, C e D pertencem, simultaneamente, à régua e à 
circunferência. 
 
 
 
 
 
 6 
 
 
Considere os seguintes dados 
 
Segmentos 
Medida 
(cm) 
AB 1,6 
ED 2,0 
EC 4,5 
 
O diâmetro do círculo é, em centímetros, igual a: 
a) 3,1 b) 3,3 c) 3,5 d) 3,6 
 
18. (Enem 2011) O atletismo é um dos esportes que mais se identificam com 
o espírito olímpico. A figura ilustra uma pista de atletismo. A pista é composta 
por oito raias e tem largura de 9,76 m. As raias são numeradas do centro da 
pista para a extremidade e são construídas de segmentos de retas paralelas e 
arcos de circunferência. Os dois semicírculos da pista são iguais. 
 
 
 
Se os atletas partissem do mesmo ponto, dando uma volta completa, em qual 
das raias o corredor estaria sendo beneficiado? 
a) 1 b) 4 c) 5 d) 7 e) 8 
 
19. (Enem 2010) A ideia de usar rolos circulares para deslocar objetos 
pesados provavelmente surgiu com os antigos egípcios ao construírem as 
pirâmides. 
 
 
 
Representando por R o raio da base dos rolos cilíndricos, em metros, a 
expressão do deslocamento horizontal y do bloco de pedra em função de 
R, após o rolo ter dado uma volta completa sem deslizar, é 
a) y R.= b) y 2R.= c) y R.π= d) y 2 R.π= e) y 4 R.π= 
 
20. (Uerj 2010) Observe abaixo a ilustração de um pistão e seu esquema no 
plano. 
 
 
 
O pistão é ligado, por meio da haste BC, a um disco que gira em torno do 
centro A. 
Considere que: 
• o raio AB e a haste BC medem, respectivamente, 1 polegada e 4 polegadas; 
• à medida que o disco gira, o pistão move-se verticalmente para cima ou para 
baixo, variando a distância AC e o ângulo BÂC. 
 
Se a medida do ângulo BÂC é dada por x radianos, a distância entre A e C, 
em polegadas, pode ser obtida pela seguinte equação: 
a) y = 4 + sen(x) 
b) y = 4 + cos(x) 
c) 2y sen(x) 16 cos (x)= + − 
d) 2y cos(x) 16 sen (x)= + − 
 
21. (Pucrj 2017) No círculo de centro O, seja AD um diâmetro. Sejam B 
e C tais que AOC 90=  e 
1
2
AOB BOC.= 
 
Assinale o valor de ODB 
a) 12 b) 15 c) 18 d) 22,5 e) 30 
 
22. (Fgvrj 2017) A razão entre a área do quadrado inscrito em um semicírculo 
de raio R e a área do quadrado inscrito em um círculo de raio R é: 
a) 
1
2
 b) 
1
3
 c) 
3
4
 d) 
2
5
 e) 
1
4
 
 
23. (Pucrj 2014) A roda de um carro tem 30 cm de raio. Depois de a roda 
completar uma volta, o carro terá se deslocado aproximadamente: 
Usando 3,14π = 
a) 60 cm b) 120 cm c) 180 cm d) 188 cm e) 198 cm 
 
24. (Uff 2012) No estudo da distribuição de torres em uma rede de telefonia 
celular, é comum se encontrar um modelo no qual as torres de transmissão 
estão localizadas nos centros de hexágonos regulares, congruentes, 
justapostos e inscritos em círculos, como na figura a seguir. 
 
Supondo que, nessa figura, o raio de cada círculo seja igual a 1km, é 
correto afirmar que a distância 3,8d (entre as torres 3 e 8 ), a distância 
3,5d (entre as torres 3 e 5 ) e a distância 5,8d (entre as torres 5 e 8 ) 
são, respectivamente, em km, iguais à 
a) 3,8 3,5 5,8d 2 3, d 3, d 3 2 3.= = = + 
b) 3,8 3,5 5,8d 4, d 3, d 5.= = = 
c) 3,8 3,5 5,8
3 3 3 3
d 4, d , d 4 .
2 2
= = = + 
d) 3,8 3,5 5,8d 2 3, d 3, d 21.= = = 
e) 3,8 3,5 5,8
3 3 9
d 4, d , d .
2 2
= = = 
 
 
 
 7 
 
 
25. (Pucrj 2012) Seja um hexágono regular ABCDEF. A razão entre os 
comprimentos dos segmentos AC e AB :igual a י 
a) 2 b) 
3
2
 c) 
1 5
2
+
 d) 3 e) 2 
 
26. (Uerj) Um professor de matemática fez, com sua turma, a seguinte 
demonstração: 
- colocou um CD sobre uma mesa e envolveu-o completamente com um 
pedaço de barbante, de modo que o comprimento do barbante coincidisse 
com o perímetro do CD; 
- em seguida, emendando ao barbante um outro pedaço, de 1 metro de 
comprimento, formou uma circunferência maior que a primeira, concêntrica 
com o CD. 
Veja as figuras adiante. 
 
Calculou, então, a diferença entre as medidas do raio da circunferência maior 
e do raio do CD, chamando-a de x. 
Logo após, imaginando um CD com medida do raio idêntica à do raio da 
Terra, repetiu, teoricamente, as etapas anteriores, chamando de y a diferença 
encontrada. 
Assim, demonstrou a seguinte relação entre essas diferenças, x e y: 
a) x + y = π-1 b) x + y = π-2 c) y - x = π-2 d) y - x = π-1 
 
27. (Uerj) A ilustração da figura 1 mostra um instrumento, em forma de V, 
usado para medir o diâmetro de fios elétricos. 
Para efetuar a medida, basta inserir um fio na parte interna do V e observar o 
ponto da escala que indica a tangência entre esse fio e o instrumento. Nesse 
ponto, lê-se o diâmetro do fio, em milímetros. 
Considere, agora, a ilustração da figura 2, que mostra a seção reta de um fio 
de 4 mm de diâmetro inserido no instrumento. 
 
Se o ângulo BÂC do instrumento mede 12°, a distância d, em milímetros, do 
ponto A ao ponto de tangência P é igual a: 
a) 
2
cos12
 b) 
6
sen12
 c) 
6
cos 6
 d) 
2
tg 6
 
 
28. (Uerj) José deseja construir, com tijolos, um muro de jardim com a forma 
de uma espiral de dois centros, como mostra a figura a seguir. 
 
 
Para construir esta espiral, escolheu dois pontos que distam 1 metro um do 
outro. A espiral tem 4 meias-voltas e cada tijolo mede 30 cm de comprimento. 
Considerando π = 3, o número de tijolos necessários para fazer a espiral é: 
a) 100 b) 110 c) 120 d) 130 
 
29. (Pucrj) Qual a razão entre os raios dos círculos circunscrito e inscrito de 
um triângulo equilátero de lado a? 
a) 2. b) 3 . c) 2 . d) 3a. e) 23a . 
 
30. (Ufrj) Sejam O = (0, 0), P = (5, 2) e P' = (2, 5). 
Girando em torno de O, no sentido trigonométrico (anti-horário), o segmento 
OP de um certo ângulo θ, o ponto P transforma-se no ponto P'. 
 
Determine cosθ. 
 
31. (Ufrj) Os ponteiros de um relógio circular medem, do centro às 
extremidades, 2 metros, o dos minutos, e 1 metro, o das horas. 
 
Determine a distância entre as extremidades dos ponteiros quando o relógio 
marca 4 horas. 
 
32. (Ufrj) O objetivo desta questão é que você demonstre a lei dos cossenos. 
Mais especificamente, considerando o triângulo da figura a seguir, mostre que 
 
a2 = b2 + c2 - 2bc cosθ 
 
 
33. (Ufrj) Determine, em função de θ, o perímetro da figura ABD, obtida 
retirando-se do triângulo retângulo ABC o setor circular BCD (de centro em C, 
raio 1 e ângulo θ). Justifique. 
 
 
34. (Fac. Albert Einstein - Medicina 2018) Uma circunferência tangencia o 
lado BC de um triângulo ABC no ponto F e intersecta os lados AB e 
AC desse triângulo, nos pontos E e D respectivamente, conforme mostra 
a figura. 
 
 
 
Sabendo que essa circunferência passa pelo ponto A, a distância entre os 
pontos D e E, em cm, é igual a 
a) 10,5. b) 10,9. c) 11,3. d) 11,7. 
 
 
 
 8 
 
 
35. (Unicamp 2018) Considere que o quadrado ABCD, representado na 
figura abaixo, tem lados de comprimento de 1cm, e que C é o ponto 
médio do segmento AE. Consequentemente, a distância entre os pontos D 
e E será igual a 
 
a) 3 cm. b) 2 cm. c) 5 cm. d)6 cm. 
 
36. (Fuvest 2017) O paralelepípedo reto-retângulo ABCDEFGH, 
representado na figura, tem medida dos lados AB 4, BC 2= = e 
BF 2.= 
 
 
O seno do ângulo HAF é igual a 
a) 
1
2 5
 b) 
1
5
 c) 
2
10
 d) 
2
5
 e) 
3
10
 
 
37. (Unicamp 2017) Considere o triângulo retângulo ABD exibido na figura 
abaixo, em que AB 2 cm,= BC 1cm= e CD 5 cm.= Então, o 
ângulo θ é igual a 
 
 
 
a) 15 . b) 30 . c) 45 . d) 60 . 
 
38. (G1 - cftmg 2017) A figura a seguir mostra uma circunferência, em que os 
arcos ADC e AEB são congruentes e medem 160 cada um. 
 
 
 
A medida, em graus, do ângulo x, é 
a) 10 . b) 20 . c) 30 . d) 40 . 
 
39. (Fac. Albert Einstein - Medicin 2017) No pentágono ABCDE da figura, 
o lado AB mede 3 cm; o lado AE mede 8 cm; o lado CD mede 
4 cm e os ângulos ˆ ˆBEC, A e D̂ medem 30 , 60  e 90 
respectivamente. 
 
 
 
Sendo a área do triângulo BCE igual a 
210,5 cm , a medida, em cm, 
do lado DE é 
a) 18 b) 20 c) 22 d) 24 
 
40. (Fgv 2016) As cordas AB e CD de uma circunferência de centro O 
são, respectivamente, lados de polígonos regulares de 6 e 10 lados 
inscritos nessa circunferência. Na mesma circunferência, as cordas AD e 
BC se intersectam no ponto P, conforme indica a figura a seguir. 
 
 
 
A medida do ângulo BPD, indicado na figura por , é igual a 
a) 120 . b) 124 . c) 128 . d) 130 . e) 132 . 
 
 
41. (Eear 2016) Duas cordas se cruzam num ponto distinto do centro da 
circunferência, conforme esboço. 
 
 
 
A partir do conceito de ângulo excêntrico interior, a medida do arco x é 
a) 40 b) 70 c) 110 d) 120 
 
 
 
 9 
 
 
42. (G1 - cftmg 2016) Na figura a seguir, o pentágono regular está inscrito 
numa circunferência de centro O e as semirretas PA e PB são tangentes 
à circunferência nos pontos A e B, respectivamente. 
 
 
 
A medida do ângulo ˆAPB, em graus, é igual a 
a) 36. b) 72. c) 108. d) 154. 
 
43. (Fgv 2016) Um triângulo isósceles tem a base medindo 10 e um dos 
ângulos da base medindo 45 . A medida do raio da circunferência inscrita 
nesse triângulo é: 
a) 5 2 4− b) 5 2 6− c) 5 2 3− d) 5 2 5− e) 5 2 2− 
 
44. (Unicamp 2015) A figura a seguir exibe um pentágono com todos os lados 
de mesmo comprimento. 
 
 
 
A medida do ângulo θ é igual a 
a) 105 . b) 120 . c) 135 . d) 150 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito: Parte I 
 
1: [B] 2: [E] 3: [C] 4: [B] 5: [C] 6: [B] 7: [A] 8: [A] 9: [E] 10: [D] 11: [C] 12: [B] 
 
 
Gabarito: Parte II 
 
1: [A] 2: [E] 3: [C] 4: [A] 5: [D] 6: [B] 7: [A] 
 
8: Tem-se, pela Lei dos Cossenos, que a resposta é 
 
2 2 2
2 2 2
AB AT BT 2 AT BT cosATB
1
AB 32 13 2 32 13
2
AB 1609
AB 40 m.
= + −    
 
= + −    −  
 
= 

 
 
Resposta da questão 9: [D] 
 
 
Resposta da questão 10: 
 
 
 
Na figura, temos: 
 
3
tg60 x 1
x
a 3
2 3 a 4
2
2 3 120 2 3
y
360 3
π π
 =  =
=  =
  
= =

 
 
Portanto, a distância d percorrida pelo centro F é dada por: 
2 3
d a x a x y 6 dm
3
π 
= − + − + = +  
 
 
 
11: [B] 12: [B] 13: [E] 14: [D] 15: [B] 16: [C] 17: [B] 18: [A] 19: [E] 20: [D] 
 
 
21: [B] 22: [D] 23: [D] 24: [D] 25: [D] 26: [A] 27: [D] 28: [A] 29: [A] 
 
30: cosθ = 20/29 31: d = 7 m 
 
 
32: Seja h a altura relativa ao lado c e sejam x e y as projeções de a e b sobre 
c, respectivamente. Então: y = b cosθ e x=c-bcosθ. 
Pelo Teorema de Pitágoras: 
b2 = b2 cos2 θ + h2 
a2 = (c - bcosθ)2 + h2 = c2-2bccosθ+b2cos2θ+h2 
Logo: a2 = b2 + c2 - 2bc cosθ. 
 
33: Sabemos que AB = tg θ, AC = sec θ e DC = 1. Como o 
comprimento do arco BD mede θ radianos, temos o perímetro p(θ) da figura 
dado por p(θ) = tg θ + θ + sec θ - 1. 
 
 
34: [A] 35:[C] 36:[E] 37:[C] 38: [B] 39: [B] 40: [E] 41: [B] 42: [C] 43: [D] 44: [B] 
 
 
 
 
 10 
 
 
Gabarito: Parte I 
 
 
Resposta da questão 1: [B] 
 
Seja h a altura do cilindro. 
Na figura é possível perceber que foram dadas seis voltas em torno do 
cilindro. Logo o cateto adjacente ao ângulo de 30 mede 
6
6 2 72cm   =

 e, portanto, temos 
 
h
tg30 h 24 3 cm.
72
 =  = 
 
Resposta da questão 2: [E] 
 
( )S sen60 ,1 sen30 , 3cos30
3 3 3 3
S , ,
2 2 2
=  +  
 
=   
 
 
 
Note que: 
3
2 3
3
2
= e 
3 3
2 3
3
2
= 
 
Assim, S é uma PG de razão 3 tg60 .=  
 
Resposta da questão 3: [C] 
 
Segue de imediato que 
 
1,8
sen sen 0,03.
60
α α=  = 
 
Portanto, de acordo com as informações da tabela, podemos afirmar que 
[1,5;1,8[.α 
 
Resposta da questão 4: [B] 
 
Do enunciado e da figura, temos: 
 
 
 
No triângulo ADE, 
( ) ( )
( )
2 22
2 2
DE x 2x
DE 5x
= +
=
 
 
Como x 0 e DE 0, 
DE x 5= 
 
Assim, 
AE
cos
DE
x
cos
x 5
1
cos
5
5
cos
5
α
α
α
α
=
=
=
=
 
Como 
5ˆ ˆCDE , cosCDE
5
α= = 
 
Resposta da questão 5: [C] 
 
 
 
5 1
sen 30
10 2
7,05
sen 0,705 45
10
α α
β α
= =  = 
= =  = 
 
Portanto, AOB 30 45 75 .=  +  =  
 
 
Resposta da questão 6: [B] 
 
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABC, vem 
2 2 2 2 2 2AC AB BC AB 12 6
AB 108
AB 6 3 cm.
= +  = −
 =
 =
 
 
Do triângulo ABM encontramos 
BM 3 3
tgBAM tgBAM .
6AB 6 3
=  = = 
 
É fácil ver que tgBAC 2 tgBAM.=  Logo, obtemos 
 
2
2
tgMAC tg(BAC BAM)
2 tgBAM tgBAM
1 2 tgBAM tgBAM
tgBAM
1 2 tg BAM
3
6
3
1 2
6
3 6
6 7
3
.
7
= −
 −
=
+  
=
+ 
=
 
+   
 
= 
=
 
 
 
 
 
 
 11 
 
 
Resposta da questão 7: [A] 
 
Vamos supor que PTB DTC. Assim, do triângulo BPT, vem 
BP 1,5
tgPTB BT m.
1,73BT
=   
Por outro lado, do triângulo CDT, encontramos 
CD 2,7
tgCTD CT .
1,73CT
=   
Em consequência, segue que o resultado pedido é 
4,2
BT CT 2,43 m.
1,73
+   
 
Resposta da questão 8: [A] 
 
h = altura do avião ao ultrapassar o morro. 
h
tan 15 h 3,8 tg15
3,8
 =  =   
 
 
Resposta da questão 9: [E] 
 
Considere a vista lateral de uma das torres Puerta de Europa. 
 
Do triângulo ABC, obtemos 
BC BC
tgB A C tg15
114AB
BC 114 0,26
BC 29,64 m.
=   =
  
 
 
 
Portanto, como a base é um quadrado, segue-se que sua área é 
aproximadamente igual a 
2 2 2BC (29,64) 878,53 m .=  
 
Resposta da questão 10: [D] 
 
Como 
sen15 sen(45 30 )
sen45 cos30 sen30 cos45
2 3 1 2
2 2 2 2
6 2
4
 =  − 
=   −  
=  − 
−
=
 
Então: 
1
1
h a( 6 2)
sen15 h .
a 4
−
 =  = 
Além disso, 
2
2
h a 2
sen45 h
a 2
 =  = 
 
Então: 
 
1 2
a( 6 2) a 2
h h
4 2
a( 6 2)
.
4
−
+ = +
+
=
 
Por outro lado, 
 
sen75 sen(45 30 )
sen45 cos30 sen30 cos45
2 3 1 2
2 2 2 2
6 2
4
 =  + 
=   +  
=  + 
+
=
 
 
Então: 
 
3
3
h a( 6 2)
sen75 h .
a 4
+
 =  = 
Portanto, 1 2 3h h h .+ = 
 
Resposta da questão 11: [C] 
 
Considere a figura. 
 
Sabendo que cos 0,8=α e 2 2sen cos 1,α α+ = obtemos 
sen 0,6. = Logo, do triângulo QNS, vem 
QS
sen QS 0,6 3 1,8 m.
NQ
α =  =  = 
Por outro lado, do triângulo MPQ, encontramos 
MP
cos MP 0,8 1 0,8 m.
PQ
α =  =  = 
Assim, o resultado pedido é dado por 
MP QS ST 0,8 1,8 1,2 3,8 m.+ + = + + = 
 
Resposta da questão 12: [B] 
 
 
ABP é isósceles (AB BP 2000)= =Δ 
o
No PBC temos:
d
sen60
2000
3 d
2 2000
d 1000 3 m
=
=
=
Δ
 
 
 
 
 
 
 12 
 
 
Gabarito: Parte II 
 
Resposta da questão 1: [A] 
 
Calculando: 
( ) ( )
2 22 2
4
cosA
5
4 18
MN 3 3 2 3 3 cosA 18 18 MN 3,6 MN 3,6
5 5
=
= + −    = −  =  =  =
 
 
Resposta da questão 2: [E] 
 
Considerando NO a origem e o sentido anti-horário o dos arcos positivos, tem-
se que inicialmente a posição da câmera é 45 . Desse modo, após as três 
mudanças, a câmera estará na posição 
45 135 60 45 165 . +  −  +  =  Em consequência, a resposta é 
165 no sentidohorário. 
 
Resposta da questão 3: [C] 
Sendo o lado do triângulo igual a "a", pode-se escrever: 
2
22 a a 3a BH BH
4 2
Y a a a 3a
Y
W Ya a 3 1,73
2W a a 0,5a a 2,366a
2 2 2
= +  =
= + + =
  
= + + = + + =
 
 
Resposta da questão 4: [A] 
Se t é o tempo decorrido até o encontro, então SA t= e PA 3,5t.= 
Logo, como sen(180 ) sen cos(90 ),β β β − = =  − para 
0, ,
2
π
β
 
  
 
 pela Lei dos Senos, vem 
SA PA t 3,5t
sen105senSPA senSPAsenPSA
sen75
senSPA
3,5
cos15
senSPA .
3,5
=  =


 =

 =
 
Em consequência, sabendo que SPA 90  e cos15 0,98,  temos 
0,98
senSPA senSPA 0,28 SPA 16 .
3,5
  =    
 
Resposta da questão 5: [D] 
 
O compasso forma, com a superfície do papel, um triângulo isóscele de lados 
10,10 e R (raio), e ângulos 120, 30 e 30 graus. Sabendo-se disto, 
pode-se calcular o raio R : 
R 10 1 3
R 10 R 10 3 17cm 15 R 21
sen 120 sen 30 2 2
=   =   =    
 
 
 
Resposta da questão 6: [B] 
 
A figura a seguir ilustra a movimentação do quadro: 
 
 
 
Assim, para retorná-lo à posição original, este deve ser girado 135 
(90 45 ) +  no sentido horário. 
Resposta da questão 7: [A] 
T1
T2
T3
2
0,24 m h
25
v r
v 0,24 50 12
v 0,24 100 24
v 0,24 150 36
π
ω
ω
= =
= 
=  =
=  =
=  =
 
 
Resposta da questão 8: 
 
Tem-se, pela Lei dos Cossenos, que a resposta é 
2 2 2
2 2 2
AB AT BT 2 AT BT cosATB
1
AB 32 13 2 32 13
2
AB 1609
AB 40 m.
= + −    
 
= + −    −  
 
= 

 
 
Resposta da questão 9: [D] 
 
Sendo R o raio das rodas da bicicleta, C o comprimento da circunferência 
da roda e N o número de voltas dadas na distância percorrida, pode-se 
calcular: 
A
A A
A
B
B B
B
A
B
60
R 30 cm 0,3 m
2
C 2 R 2 3,14 0,3 C 1,884 m
10.000
N 5307,86 voltas
1,884
40
R 20 cm 0,2 m
2
C 2 R 2 3,14 0,2 C 1,256 m
5.000
N 3980,89 voltas
1,256
N 5307,86 4
1,33333
N 3980,89 3
π
π
= = =
=   =    =
= 
= = =
=   =    =
= 
=  
 
 
Resposta da questão 10: 
 
 
 
Na figura, temos: 
3
tg60 x 1
x
a 3
2 3 a 4
2
2 3 120 2 3
y
360 3
π π
 =  =
=  =
  
= =

 
 
Portanto, a distância d percorrida pelo centro F é dada por: 
2 3
d a x a x y 6 dm
3
π 
= − + − + = +  
 
 
 
 
 
 13 
 
 
Resposta da questão 11: [B] 
 
A posição dos cavalos é irrelevante, pois ambos completarão as 10 voltas, 
iniciando e terminando o percurso no mesmo ponto. Assim, sobre a distância 
percorrida por cada cavalo do carrossel, pode-se escrever: 
C1 1 C1
C2 2 C2
D 10 2 R 10 2 3 4 D 240
D 10 2 R 10 2 3 3 D 180
π
π
=    =     =
=    =     =
 
 
Assim, a diferença das distâncias percorridas entre os dois cavalos será de 
60 metros. 
 
Resposta da questão 12: [B] 
 
Sejam An e Bn , respectivamente, o número de voltas da engrenagem 
maior e o número de voltas da engrenagem menor. Desse modo, se Ar e Br 
são os raios dessas engrenagens, então 
 
A A B B A B
A B
n 2 r n 2 r 375 r 1000 r
8
r r .
3
π π  =     = 
 = 
 
 
Portanto, 
A B B B
B
8
r r 11 r r 11
3
r 3cm.
+ =   + =
 =
 
 
Resposta da questão 13: [E] 
 
A distância percorrida pelo homem em sua caminhada diária é igual a 
 
15 2 50 4500 m 4,5km.π    = 
 
Resposta da questão 14: [D] 
 
Considere a figura, em que BD x= e AC y.= 
 
 
 
Para que a bandeja tenha capacidade de portar exatamente quatro copos de 
uma só vez, deve-se ter 
247
2 (x y) 2 x.x x
55
 
=  + =  =+ 
 
 
 
Portanto, o resultado pedido é dado por 
 
24
x
245 .
x 5BD
= = 
 
Resposta da questão 15: [B] 
 
3’= (3/60)° = 0,05° 
 
124° 3’ 0” = 124,05° 
 
Resposta da questão 16: [C] 
 
Se AC = R, temos o triângulo AFC equilátero. Logo, 60 .θ =  
 
Resposta da questão 17: [B] 
 
Considere a figura abaixo. 
 
 
 
Queremos calcular 2 OB. 
Sabemos que ED 2cm= e EC 4,5cm.= Logo, 
DC EC ED 4,5 2 2,5cm.= − = − = 
Sendo M o ponto médio do segmento DC, vem que 
DC 2,5
DM 1,25cm.
2 2
= = = 
Por outro lado, como EF AB, temos 
FD ED EF ED AB 2 1,6 0,4cm.= − = − = − = 
Portanto, 2 OB 2 (FD DM) 2 (0,4 1,25) 3,3cm. =  + =  + = 
 
Resposta da questão 18: [A] 
 
Na raia 1, o atleta percorreria a menor distância, pois seu comprimento é 
menor. Os raios das semicircunferências são menores. 
 
Resposta da questão 19: [E] 
Deslocamento do rolo em relação ao solo: 2 R.π  
Deslocamento do bloco em relação ao rolo: 2 R.π  
Deslocamento do bloco em relação ao solo: 4 R.π  
 
Resposta da questão 20: [D] 
Aplicando a lei dos cossenos no triângulo ABC, vem: 
2
22 2 2 2
2
2
1 sen x
2
4 AC 1 2 AC cosx 15 (AC cosx) cos x
AC cosx 15 cos x
AC 15 cos x cosx
AC 16 sen x cosx.
−
= + −    = − −
 − = +
 = + +
 = − +
 
 
 
 
Resposta da questão 21: [B] 
 
Do enunciado e da figura, temos: 
 
 
 
 
 14 
 
 
Se ˆ ˆAOB , BOC 2 .α α= = 
ˆ ˆ ˆAOC AOB BOC= + 
Como ˆ ˆAOC 90 , AOB α=  = e ˆBOC 2 ,α= 
90 2
90 3
30
α α
α
α
 = +
 =
= 
 
Seja r a medida do raio do círculo. 
OD OB r,= = logo, o triângulo ODB é isósceles. Então, se 
ˆ ˆODB , DBO .β β= = 
Note que ˆAOB é ângulo externo do triângulo ODB, portanto, 2α β= 
Como 30 ,α =  
15 .β =  
 
Assim, ˆODB 15 .=  
 
Resposta da questão 22: [D] 
 
Calculando: 
 
 
 
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2
x 5x 4R
semicírculo R x R S x
4 4 5
x x 2x 4R
círculo R R S x
4 4 4 2
4R 4R 2
razão
5 2 5
 = +  =  = =
 = +  =  = =
  =
 
 
Resposta da questão 23: [D] 
 
O perímetro da roda corresponde a 2 30 2 3,14 30 188cm,π      
que é o resultado desejado. 
 
Resposta da questão 24: [D] 
 
3,8
4.1. 3
d 4.a 2 3
2
= = = 
 
 
3,5d 1 1 1 3= + + = 
 
 
2 2
5,8
3 9 84
d 21
2 2 4
=
   
+ = =       
 
 
 
 
Resposta da questão 25: [D] 
 
 
 
2 2 2AC a a 2 a a cos120 AC a 3= + −      = 
Logo, 
AC a 3
3.
AB a
= = 
 
Resposta da questão 26: [A] 
 
Resposta da questão 27: [D] 
 
Resposta da questão 28: [A] 
 
Resposta da questão 29: [A] 
 
Resposta da questão 30: cosθ = 20/29 
 
Resposta da questão 31: d = 7 m 
 
Resposta da questão 32: 
 Seja h a altura relativa ao lado c e sejam x e y as projeções de a e b sobre c, 
respectivamente. Então: y = b cosθ e x=c-bcosθ. 
Pelo Teorema de Pitágoras: 
b2 = b2 cos2 θ + h2 
a2 = (c - bcosθ)2 + h2 = c2-2bccosθ+b2cos2θ+h2 
Logo: a2 = b2 + c2 - 2bc cosθ. 
 
Resposta da questão 33: 
 Sabemos que AB = tg θ, AC = sec θ e DC = 1. Como o comprimento 
do arco BD mede θ radianos, temos o perímetro p(θ) da figura dado por 
p(θ) = tg θ + θ + sec θ - 1. 
 
Resposta da questão 34: [A] 
 
Calculando: 
( )
( )
2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
CD CA CF 4 4 AD 6 AD 5
BE BA BF 4 4 AE 8 AE 12
141 47
BC BA CA 2 BA CA cos 14 16 9 2 16 9 cos cosÂ
288 96
47 441 21
ED AE AD 2 AE AD cos x 12 5 2 12 5 x x 10,5
96 4 2
 =   + =  =
 =   + =  =
= + −     = + −     = =
= + −     = + −     =  = =
 
 
Resposta da questão 35: [C] 
 
Se o lado do quadrado ABCD mede 1cm, então sua diagonal mede 
2cm. Daí, como C é ponto médio de AE, vem CE 2cm.= 
Ademais, sendo ˆACD 45 ,=  temos ˆDCE 135=  e, portanto, pela Lei 
dos Cossenos, encontramos 
2 22 2DE 1 ( 2) 2 1 2 cos135 DE 5
DE 5 cm.
= + −      =
 =
 
 
 
 15 
 
 
Resposta da questão 36: [E] 
 
 
 
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2
2 2 2 2
ABF y 4 2 y 20 y 2 5
EHF z 4 2 z 20 z 2 5
EHA x 2 2 x 8 x 2 2
Lei dos Cossenos :
z x y 2xy cosa 20 8 20 2 2 2 2 5 cosa
1
8 10 cosa 8 cosa
10
1 391sen a cos a 1 sen a 1 sen a 1 sen a
10 1010 10
 → = + → = → =
 → = + → = → =
 → = + → = → =
= + −  → = + −   
 = → =
 
+ = → + = → = − = → = 
 
 
 
Resposta da questão 37: [C] 
 
Calculando: 
( ) ( )
2 2 2
2 2 2
2 22
AC 2 1 AC 5
AD 2 6 AD 40
5 5 40 2 5 40 cos 2 200 cos 20
10 2
cos cos 45
210 2
θ θ
θ θ θ
= + → =
= + → =
= + −    → =
= → = → = 
 
 
Resposta da questão 38: [B] 
 
O arco de extremos C e B, determinado pelo ângulo x na circunferência, 
mede 2x. Portanto, 
2x 160 160 360
2x 40
x 20
+  +  = 
= 
= 
 
 
Resposta da questão 39: [B] 
 
Aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo ABE, temos 
2 22 2 1BE 3 8 2 3 8 cos60 BE 9 64 2 24
2
BE 7cm.
= + −      = + −  
 =
 
 
Desse modo, como a área do triângulo BCE é igual a 210,5cm , vem 
1
7 CE sen30 10,5 CE 6cm.
2
    =  = 
 
Por conseguinte, pelo Teorema de Pitágoras, encontramos 
2 2 2DE 6 4 DE 20 cm.= −  = 
 
Resposta da questão 40: [E] 
 
Se o lado AB refere-se a um polígono regular de 6 lados, então o arco 
AB mede 60 . 
Se o lado CD refere-se a um polígono regular de 10 lados, então o arco 
CD mede 36 . 
A circunferência tem um total de 360 , logo o ângulo pedido será: 
360 60 36
132
2
α α
− −
=  =  
 
 
 
Resposta da questão 41: [B] 
 
Pela propriedade do ângulo interior à circunferência como sendo a média 
aritmética dos arcos que ele determina numa circunferência, podemos 
escrever que: 
x 50
60 x 50 120 x 70
2
+ 
=  +  =  =  
 
Resposta da questão 42: [C] 
 
Os vértices do pentágono regular dividem a circunferência em cinco arcos 
congruentes de medida igual a 
360
72 .
5

=  Além disso, como PA e 
PB são tangentes à circunferência nos pontos A e B, segue que os 
ângulos OAP e OBP são retos. Em consequência, APB é o suplemento 
do ângulo central AOB, ou seja, 180 72 108 . −  =  
 
Resposta da questão 43: [D] 
 
Calculando: 
 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 22 210 5 r 5 r 10 2 5 r 10 2 5 r r 5 2 5= + + +  =  +  =  +  = − 
 
Resposta da questão 44: [B] 
 
Considere o pentágono equilátero ABCDE de lado da figura. 
 
 
 
É fácil ver que o triângulo CDE é isósceles, com CD ED.= 
 
Sabendo que BAE 90 ,=  tem-se que o triângulo ABE é retângulo 
isósceles, com BE 2.= Em consequência, sendo ABC 135 ,=  
concluímos que o triângulo ABC é retângulo em B. 
 
Agora, pelo Teorema de Pitágoras aplicado no triângulo BCE, encontramos 
CE 3.= 
 
Finalmente, aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo CDE, vem 
 
2 2 2 1( 3) 2 cos cos
2
120 .
θ θ
θ
= + −     = −
 = 