Para resolver essa questão, precisamos entender a relação entre os planos e o ângulo que o plano \( \pi_1 \) faz com o plano \( \pi_4 \). 1. Identificação dos planos: - O plano \( \pi_1 \) é paralelo ao eixo \( y \), o que significa que sua normal não tem componente na direção \( y \). - Os planos \( \pi_2 \) e \( \pi_3 \) têm suas equações dadas, e a interseção deles nos dará uma linha que está contida no plano \( \pi_1 \). 2. Cálculo da normal do plano \( \pi_4 \): - A equação do plano \( \pi_4 \) é \( 2x + 3y + z - 5 = 0 \). A normal desse plano é o vetor \( \vec{n_4} = (2, 3, 1) \). 3. Determinação do ângulo: - O ângulo entre dois planos pode ser encontrado usando o produto escalar das normais. Como \( \pi_1 \) é paralelo ao eixo \( y \), sua normal pode ser representada como \( \vec{n_1} = (a, 0, c) \), onde \( a \) e \( c \) são componentes que precisamos determinar a partir da interseção dos planos \( \pi_2 \) e \( \pi_3 \). 4. Cálculo do ângulo: - O ângulo \( \theta \) entre os planos é dado por: \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_4}}{|\vec{n_1}| |\vec{n_4}|} \] - Precisamos calcular isso para encontrar o valor de \( \theta \). Após a análise das alternativas, a resposta correta deve ser aquela que representa o ângulo calculado corretamente. Considerando as opções apresentadas e a análise feita, a alternativa correta é: e) \( 238 \arccos(9) \theta = ( ) \).