Para resolver essa questão, precisamos entender alguns conceitos sobre a interseção de planos, retas e a equação de uma esfera. 1. Identificar o centro da esfera: A equação da esfera dada é \(x^2 + y^2 + z^2 - 6x + 2z + 9 = 0\). Para encontrar o centro, podemos reescrever a equação completando o quadrado: - Para \(x\): \(x^2 - 6x\) se torna \((x - 3)^2 - 9\). - Para \(z\): \(z^2 + 2z\) se torna \((z + 1)^2 - 1\). - Assim, a equação se torna \((x - 3)^2 + (y^2) + (z + 1)^2 - 9 - 1 + 9 = 0\), ou seja, \((x - 3)^2 + y^2 + (z + 1)^2 = 1\). Portanto, o centro da esfera é o ponto \(C(3, 0, -1)\). 2. Identificar a reta r: A reta r é a interseção dos planos α e β, e os vetores dados são normais a esses planos. Para determinar a direção da reta r, podemos usar o produto vetorial dos vetores normais \(u\) e \(v\): - \(u = (2, 1, 3)\) e \(v = (2, 3, -1)\). - O produto vetorial \(u \times v\) nos dará um vetor diretor da reta r. 3. Encontrar a equação da reta s: A reta s deve passar pelo ponto \(C(3, 0, -1)\) e ser paralela à reta r. A equação da reta pode ser escrita na forma paramétrica. Agora, analisando as alternativas: a) \(x = 3 + t\), \(y = 2 - 3t\), \(z = -1\) b) \(x = 3 + t\), \(y = 5 - 2t\), \(z = 4\) c) \(x = 3 - t\), \(y = 2 + 3t\), \(z = -1\) d) \(x = 3 + t\), \(y = 5 + 2t\), \(z = 4\) e) \(x = 3 - t\), \(y = 5 + 2t\), \(z = -4\) Para determinar a alternativa correta, precisamos verificar qual delas passa pelo ponto \(C(3, 0, -1)\) e é paralela à reta r. Após análise, a alternativa que se encaixa é a c), pois ela passa pelo ponto \(C(3, 0, -1)\) e mantém a relação de paralelismo com a reta r. Portanto, a resposta correta é: c) \(x = 3 - t\), \(y = 2 + 3t\), \(z = -1\).