Para resolver a equação diferencial \( xe^{-y} \sin(x) \, dx - y \, dy = 0 \), vamos seguir os passos sugeridos. 1. Multiplicar todos os termos por \( e^y \): \[ x \sin(x) \, dx - y e^y \, dy = 0 \] 2. Separar as variáveis: \[ \frac{dy}{y e^y} = \frac{dx}{x \sin(x)} \] 3. Integrar ambos os lados: - Para o lado esquerdo: \[ \int \frac{dy}{y e^y} = \int \frac{1}{y} \, dy - \int e^{-y} \, dy = \ln|y| - e^{-y} + C_1 \] - Para o lado direito: \[ \int \frac{dx}{x \sin(x)} = \ln|x| - \int \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \, dx = \ln|x| - \ln|\sin(x)| + C_2 \] 4. Igualar as integrais: \[ \ln|y| - e^{-y} = \ln|x| - \ln|\sin(x)| + C \] 5. Reorganizar a equação: \[ \ln|y| + \ln|\sin(x)| = \ln|x| + e^{-y} + C \] A solução geral da equação diferencial é uma função implícita que relaciona \( x \) e \( y \). Para encontrar a solução explícita, você pode precisar de condições iniciais ou mais informações. Se você tiver alternativas específicas, posso ajudar a identificar a correta!