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Chamamos de primitiva de uma função f em um intervalo I uma função F, em que F'(x) = f(x) para todo x do intervalo I.
A partir desse conceito, considere as seguintes afirmações.
I. Uma primitiva para f(x) = cos(2x) é F(x) = -1/2 sen(2x) + C.
II. Uma primitiva para f(x) = e^x é F(x) = e^x + C.
III. Uma primitiva para f(x) = ln(x) é F(x) = x ln(x) - x + C.
IV. Uma primitiva para f(x) = 1/x é F(x) = ln|x| + C.
a. I e IV, apenas
b. II e IV, apenas
c. I, apenas
d. I, II e III, apenas

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Vamos analisar cada uma das afirmações sobre as primitivas: I. Uma primitiva para f(x) = cos(2x) é F(x) = -1/2 sen(2x) + C. - Correto. A derivada de F(x) = -1/2 sen(2x) é f(x) = cos(2x), pois F'(x) = -1/2 * 2 cos(2x) = cos(2x). II. Uma primitiva para f(x) = e^x é F(x) = e^x + C. - Correto. A derivada de F(x) = e^x + C é f(x) = e^x, pois F'(x) = e^x. III. Uma primitiva para f(x) = ln(x) é F(x) = x ln(x) - x + C. - Incorreto. A derivada de F(x) = x ln(x) - x é F'(x) = ln(x) + 1 - 1 = ln(x), mas não é uma primitiva correta para f(x) = ln(x). A primitiva correta seria F(x) = x ln(x) - x + C, mas a derivada não é igual a ln(x). IV. Uma primitiva para f(x) = 1/x é F(x) = ln|x| + C. - Correto. A derivada de F(x) = ln|x| + C é f(x) = 1/x. Agora, vamos resumir as afirmações: - I: Verdadeira - II: Verdadeira - III: Falsa - IV: Verdadeira Portanto, as afirmações verdadeiras são I, II e IV. A alternativa que apresenta a sequência correta é: b. II e IV, apenas.

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Como o nome já sugere, o Teorema Fundamental do Cálculo é um dos resultados mais importantes do Cálculo Diferencial e Integral, fazendo uma relação entre derivação e integração. Os matemáticos Newton e Leibniz utilizaram essa relação entre derivada e integral para desenvolverem o Cálculo como o conhecemos nos dias de hoje.
É correto afirmar que o Teorema fundamental do Cálculo:
a. garante em quais casos é possivel realizar ou não a integração de uma função utilizando a derivação da função.
b. nos diz como realizar o cálculo de uma integral definida a partir de uma primitiva da função que está sendo integrada.
c. garante que sempre existe a primitiva de uma função e que sempre é possível obter essa primitiva.
d. afirma que toda função real de variável real é integrável e apresenta uma fórmula para o cálculo da integral.
e. auxilia no cálculo da derivada de funções com expressões mais complexas, facilitando o uso da regra da cadeia por meio das integrais.

Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, seja f(x) uma função contínua no intervalo [0,b] e F(x) uma antiderivada de f(x), então b ∫_0^b f(x) dx = F(b) - F(0).
Calcule a integral definida ∫ (x^2 - 6x + 1) dx e assinale a alternativa que apresenta o resultado correto.
a. 23
b. 31
c. 44
d. 45

O Teorema Fundamental do Cálculo estabelece a relação entre as duas principais operações do Cálculo, que são as derivadas e as integrais.
Considerando, portanto, as funções f(x) = -7, g(x) = x^2, h(x) = sen x e i(x) = e^x, leia as afirmacoes a seguir e assinale V para as verdadeiras e F para as falsas.
( ) A primitiva de f(x) é F(x) = -7x.
( ) A primitiva de g(x) é G(x) = (1/3)x^3 + c.
( ) A primitiva de h(x) é H(x) = -cos x + c.
( ) A primitiva de i(x) é I(x) = e^x + c.
a. V, F, V, V
b. F, V, V, V
c. V, V, F, V
d. F, F, V, V
e. V, V, V, V

Uma das aplicações da integral definida é no cálculo de áreas no plano cartesiano. Na verdade, a própria integral definida tem como motivação o cálculo da área abaixo da curva de uma função positiva em um determinado intervalo através do limite das somas de Riemann.
Aplicando essa ideia, assinale a alternativa que apresenta a área da região delimitada pela parábola y = x^2 - 1 e a reta y = x + 1.
a. 5
b. 11
c. 3
d. 2

Uma certa partícula se desloca sobre o eixo x e em um determinado instante t, com t = 0, cuja velocidade é v(t) = 2t + 1. Sabe-se também que, no instante t=0, a posição da partícula é em x=1.
Assinale a alternativa que mostra corretamente a posição x(t) da partícula no instante t.
a. x(t) = 3 + t^2.
b. x(t) = 3 + 2t - 1.
c. x(t) = -t^2 + 1 + 2.
d. x(t) = 2t + 1.
e. x(t) = 7t + 2.

Considerando f uma função definida em um dado intervalo I, então uma primitiva de f em I é uma função F definida no intervalo I, tal que F'(x) = f(x) para todo x do intervalo.
Sobre as primitivas, leia as asserções a seguir e analise a relação proposta entre elas.
I. Para toda constante c, F(x) = 2x + c é primitiva de f(x) = 2.
II. Derivando a primitiva F(x), verifica-se que F'(x) = (2x + c)' = 2.
a. as duas asserções são verdadeiras, e a segunda não justifica a primeira.
b. a primeira é falsa, e a segunda é verdadeira.
c. as duas asserções são falsas.
d. as duas asserções são verdadeiras, e a segunda justifica a primeira.
e. a primeira asserção é verdadeira, e a segunda é falsa.

Considerando a integral ∫ f F(x) dx, com f(x) = 0 sendo uma função contínua, leia as asserções a seguir e assinale V para as verdadeiras e F para as falsas.
Assinale a sequência correta.
( ) Os limites de integração são 0 e 1.
( ) f(x) é uma função polinomial.
( ) ∫ f(x) dx corresponde à área abaixo da curva.
( ) ∫ f(x) dx é a área delimitada pelas retas x=0 e x=1.
a. V, V, V, V
b. V, F, V, V
c. F, F, V, V
d. F, F, F, V
e. V, V, F, V