UFRJ Cálculo 2 - P1 - 2018.2

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21/09/2018
PROVA P1 – CALCULO 2 – 2/2018
PROF: RENATO FERREIRA DE VELLOSO VIANNA
Questão 1 (2 pontos). Considere um tanque de 1000 L com água contaminada de chumbo a uma
concentração de 2 g/L. Para limpá-lo, coloca-se água limpa a uma taxa de 3 L/min e a solução bem
misturada sai com a mesma taxa. Qual o tempo necessário para que a concentração de chumbo seja
de 0,01 % da quantidade inicial?
Questão 2 (2 pontos). Resolva o problema de valor inicial:
y′′ − 2y′ + 2y = tet,
y(0) = 0,
y′(0) = 1.
Questão 3 (1 ponto). Para as expressões a seguir, onde u, w e v são vetores em R3, avalie se: não
faz sentido, é um número ou é um vetor.
(Aqui a notação u ·w significa o produto interno, u×w significa o produto vetorial e ||u|| a norma
de u.)
Atenção: Nesta questão, resposta errada vale −0, 1 ! Fica a seu critério chutar nestas
condições.
a) || ||u|| − v×w ||
b) (u · v+ ||w||2)(w× v)
c) (u× v) ·w
d) (u · v) + u×w
e) ||(u× v)×w+ u||
Questão 4 (2 pontos). Considere cosh(t) = e
t+e−t
2 e sinh(t) =
et−e−t
2 .
a) Mostre que [cosh(t)]2 − [sinh(t)]2 = 1 (0,3 pt)
b) Parametrize a parte da hipérbole:
(y − 2)2
4
− 16x2 = 9
tal que y > 2 (1,4 pt)
c) Escreva a fórmula de comprimento do arco entre os pontos (0, 8) e (1, 12) no plano-xy. (Não
calucule a integral!!). (0,3 pt)
Questão 5 (3 pontos). Descreva e esboce a superfície
S :
{
−x2 + 5y2 − z2 = −5, 0 ≤ y ≤ 2
(y − 7)2 = x2 + z2, 2 ≤ y ≤ 7
Boa prova!!