Para encontrar as fórmulas dos operadores inversos \( T_1^{-1} \) e \( T_2^{-1} \), além do inverso da composição \( (T_2 \circ T_1)^{-1} \), vamos resolver passo a passo. 1. Encontrando \( T_1^{-1} \): Dado \( T_1(x, y) = (x + y, x - y) \), vamos chamar \( (u, v) = (x + y, x - y) \). Precisamos resolver esse sistema para \( x \) e \( y \): \[ u = x + y \\ v = x - y \] Somando as duas equações: \[ u + v = 2x \implies x = \frac{u + v}{2} \] Subtraindo as duas equações: \[ u - v = 2y \implies y = \frac{u - v}{2} \] Portanto, a fórmula para \( T_1^{-1} \) é: \[ T_1^{-1}(u, v) = \left( \frac{u + v}{2}, \frac{u - v}{2} \right) \] 2. Encontrando \( T_2^{-1} \): Dado \( T_2(x, y) = (2x + y, x - 2y) \), vamos chamar \( (u, v) = (2x + y, x - 2y) \). Precisamos resolver esse sistema para \( x \) e \( y \): \[ u = 2x + y \\ v = x - 2y \] Da primeira equação, podemos expressar \( y \): \[ y = u - 2x \] Substituindo na segunda equação: \[ v = x - 2(u - 2x) \\ v = x - 2u + 4x \\ v = 5x - 2u \implies 5x = v + 2u \implies x = \frac{v + 2u}{5} \] Agora substituímos \( x \) na expressão de \( y \): \[ y = u - 2\left(\frac{v + 2u}{5}\right) = u - \frac{2v + 4u}{5} = \frac{5u - 2v - 4u}{5} = \frac{u - 2v}{5} \] Portanto, a fórmula para \( T_2^{-1} \) é: \[ T_2^{-1}(u, v) = \left( \frac{v + 2u}{5}, \frac{u - 2v}{5} \right) \] 3. Encontrando \( (T_2 \circ T_1)^{-1} \): A composição \( T_2 \circ T_1 \) é dada por: \[ (T_2 \circ T_1)(x, y) = T_2(T_1(x, y)) = T_2(x + y, x - y) \] Substituindo na fórmula de \( T_2 \): \[ = T_2(x + y, x - y) = (2(x + y) + (x - y), (x + y) - 2(x - y)) \\ = (2x + 2y + x - y, x + y - 2x + 2y) \\ = (3x + y, -x + 3y) \] Agora, precisamos encontrar o inverso de \( (u, v) = (3x + y, -x + 3y) \): \[ u = 3x + y \\ v = -x + 3y \] Da primeira equação, podemos expressar \( y \): \[ y = u - 3x \] Substituindo na segunda equação: \[ v = -x + 3(u - 3x) \\ v = -x + 3u - 9x \\ v = 3u - 10x \implies 10x = 3u - v \implies x = \frac{3u - v}{10} \] Agora substituímos \( x \) na expressão de \( y \): \[ y = u - 3\left(\frac{3u - v}{10}\right) = u - \frac{9u - 3v}{10} = \frac{10u - 9u + 3v}{10} = \frac{u + 3v}{10} \] Portanto, a fórmula para \( (T_2 \circ T_1)^{-1} \) é: \[ (T_2 \circ T_1)^{-1}(u, v) = \left( \frac{3u - v}{10}, \frac{u + 3v}{10} \right) \] Resumindo: - \( T_1^{-1}(u, v) = \left( \frac{u + v}{2}, \frac{u - v}{2} \right) \) - \( T_2^{-1}(u, v) = \left( \frac{v + 2u}{5}, \frac{u - 2v}{5} \right) \) - \( (T_2 \circ T_1)^{-1}(u, v) = \left( \frac{3u - v}{10}, \frac{u + 3v}{10} \right) \)