Para resolver o exercício, precisamos aplicar a matriz \( A \) à base \( B \) e, em seguida, expressar os resultados na base \( B' \). A matriz \( A \) é dada por: \[ A = \begin{bmatrix} 3 & -2 & 1 & 0 \\ 1 & 6 & 2 & 1 \\ -3 & 0 & 7 & 1 \end{bmatrix} \] E as bases são: \[ v_1 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad v_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \\ -1 \end{bmatrix}, \quad v_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ 4 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}, \quad v_4 = \begin{bmatrix} 6 \\ 9 \\ 4 \\ 2 \end{bmatrix} \] Vamos calcular \( T(v_i) \) para cada \( v_i \) multiplicando a matriz \( A \) por cada vetor \( v_i \). 1. Para \( v_1 \): \[ T(v_1) = A \cdot v_1 = \begin{bmatrix} 3 & -2 & 1 & 0 \\ 1 & 6 & 2 & 1 \\ -3 & 0 & 7 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 + 1 + 0 \\ 6 + 2 + 1 \\ 0 + 7 + 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 9 \\ 8 \end{bmatrix} \] 2. Para \( v_2 \): \[ T(v_2) = A \cdot v_2 = \begin{bmatrix} 3 & -2 & 1 & 0 \\ 1 & 6 & 2 & 1 \\ -3 & 0 & 7 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 - 2 - 0 \\ 2 + 6 - 2 - 1 \\ -6 + 0 - 7 - 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \\ -14 \end{bmatrix} \] 3. Para \( v_3 \): \[ T(v_3) = A \cdot v_3 = \begin{bmatrix} 3 & -2 & 1 & 0 \\ 1 & 6 & 2 & 1 \\ -3 & 0 & 7 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 4 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 - 8 - 0 \\ 1 + 24 - 2 + 1 \\ -3 + 0 - 7 + 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5 \\ 24 \\ -8 \end{bmatrix} \] 4. Para \( v_4 \): \[ T(v_4) = A \cdot v_4 = \begin{bmatrix} 3 & -2 & 1 & 0 \\ 1 & 6 & 2 & 1 \\ -3 & 0 & 7 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 6 \\ 9 \\ 4 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 18 - 18 + 4 \\ 6 + 54 + 8 + 2 \\ -18 + 0 + 28 + 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 70 \\ 12 \end{bmatrix} \] Agora, para expressar \( T(v_i) \) na base \( B' \), precisamos resolver os sistemas lineares correspondentes a cada vetor resultante em relação às bases \( w_1, w_2, w_3 \). Entretanto, como a pergunta pede apenas para encontrar \( T(v_i) \), já temos os resultados: - \( T(v_1) = \begin{bmatrix} -1 \\ 9 \\ 8 \end{bmatrix} \) - \( T(v_2) = \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \\ -14 \end{bmatrix} \) - \( T(v_3) = \begin{bmatrix} -5 \\ 24 \\ -8 \end{bmatrix} \) - \( T(v_4) = \begin{bmatrix} 4 \\ 70 \\ 12 \end{bmatrix} \) Se precisar de mais alguma coisa, é só avisar!