Para determinar a área sob o gráfico da função \( f(x) = x^3 - 3x + 4 \) no intervalo \([0, 2]\), precisamos calcular a integral definida dessa função nesse intervalo. O Teorema Fundamental do Cálculo nos diz que a área sob a curva de uma função \( f \) de \( a \) a \( b \) é dada por: \[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx \] Neste caso, temos: \[ \int_{0}^{2} (x^3 - 3x + 4) \, dx \] Vamos calcular essa integral: 1. Encontrar a primitiva de \( f(x) \): - A primitiva de \( x^3 \) é \( \frac{x^4}{4} \). - A primitiva de \( -3x \) é \( -\frac{3x^2}{2} \). - A primitiva de \( 4 \) é \( 4x \). Portanto, a primitiva \( F(x) \) é: \[ F(x) = \frac{x^4}{4} - \frac{3x^2}{2} + 4x \] 2. Calcular \( F(2) \) e \( F(0) \): - \( F(2) = \frac{2^4}{4} - \frac{3(2^2)}{2} + 4(2) = \frac{16}{4} - \frac{3 \cdot 4}{2} + 8 = 4 - 6 + 8 = 6 \) - \( F(0) = \frac{0^4}{4} - \frac{3(0^2)}{2} + 4(0) = 0 \) 3. Calcular a área: - A área sob a curva de \( f \) no intervalo \([0, 2]\) é: \[ \int_{0}^{2} f(x) \, dx = F(2) - F(0) = 6 - 0 = 6 \] Portanto, a área abaixo do gráfico de \( f \) no intervalo \([0, 2]\) é 6. A alternativa correta é: 6.