Para resolver a integral que calcula a população total \( P \) entre 10 e 30 km do centro da cidade, precisamos calcular a seguinte integral: \[ P = 2\pi \cdot 15 \int_{10}^{30} \frac{r}{1+r^2} \, dr \] Vamos resolver a integral \( \int \frac{r}{1+r^2} \, dr \). Para isso, podemos usar a substituição \( u = 1 + r^2 \), o que nos dá \( du = 2r \, dr \) ou \( dr = \frac{du}{2r} \). Substituindo na integral, temos: \[ \int \frac{r}{1+r^2} \, dr = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \, du = \frac{1}{2} \ln |u| + C = \frac{1}{2} \ln(1+r^2) + C \] Agora, aplicamos os limites de 10 a 30: \[ \int_{10}^{30} \frac{r}{1+r^2} \, dr = \left[ \frac{1}{2} \ln(1+r^2) \right]_{10}^{30} = \frac{1}{2} \ln(1+30^2) - \frac{1}{2} \ln(1+10^2) \] Calculando: \[ = \frac{1}{2} \ln(901) - \frac{1}{2} \ln(101) = \frac{1}{2} \left( \ln(901) - \ln(101) \right) = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{901}{101}\right) \] Agora, substituímos isso na expressão de \( P \): \[ P = 2\pi \cdot 15 \cdot \frac{1}{2} \ln\left(\frac{901}{101}\right) = 15\pi \ln\left(\frac{901}{101}\right) \] Portanto, a população total \( P \) entre 10 e 30 km do centro da cidade é dada por: \[ P = 15\pi \ln\left(\frac{901}{101}\right) \] Se precisar de um valor numérico, você pode calcular \( \ln\left(\frac{901}{101}\right) \) e multiplicar por \( 15\pi \).