Seja f:R R, definida f(x) = { 3x + 3, x 0; ≤ - Podemos afirmar que: x²+4x+3,x>0. >

A função \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) que você apresentou é uma função definida por partes. Ela é dada por: \[ f(x) = \begin{cases} 3x + 3 & \text{se } x \leq 0 \\ x^2 + 4x + 3 & \text{se } x > 0 \end{cases} \] Para analisar essa função, podemos verificar algumas características: 1. Continuidade: Para verificar se a função é contínua em \( x = 0 \), precisamos calcular \( f(0) \) e o limite quando \( x \) se aproxima de 0. - \( f(0) = 3(0) + 3 = 3 \) - Para \( x \) se aproximando de 0 pela direita (\( x > 0 \)): \[ \lim_{x \to 0^+} f(x) = 0^2 + 4(0) + 3 = 3 \] - Para \( x \) se aproximando de 0 pela esquerda (\( x < 0 \)): \[ \lim_{x \to 0^-} f(x) = 3(0) + 3 = 3 \] Como \( f(0) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = 3 \), a função é contínua em \( x = 0 \). 2. Derivabilidade: Para verificar se a função é derivável em \( x = 0 \), precisamos calcular a derivada pela esquerda e pela direita. - Derivada para \( x \leq 0 \): \( f'(x) = 3 \) - Derivada para \( x > 0 \): \( f'(x) = 2x + 4 \). Assim, \( f'(0^+) = 4 \). Como \( f'(0^-) = 3 \) e \( f'(0^+) = 4 \), a função não é derivável em \( x = 0 \). Essas são algumas análises que podemos fazer sobre a função. Se precisar de mais informações ou de um aspecto específico, é só avisar!