O ângulo entre dois vetores não nulos u e v de Rⁿ é definido por. Calcule o ângulo entre os vetores u = (1, –2, 3) e v = (2, 4, 5).

Para calcular o ângulo entre os vetores \( \mathbf{u} = (1, -2, 3) \) e \( \mathbf{v} = (2, 4, 5) \), usamos a fórmula do cosseno do ângulo \( \theta \): \[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\|} \] 1. Calcule o produto escalar \( \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} \): \[ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 1 \cdot 2 + (-2) \cdot 4 + 3 \cdot 5 = 2 - 8 + 15 = 9 \] 2. Calcule a norma de \( \mathbf{u} \): \[ \|\mathbf{u}\| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14} \] 3. Calcule a norma de \( \mathbf{v} \): \[ \|\mathbf{v}\| = \sqrt{2^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 16 + 25} = \sqrt{45} \] 4. Substitua na fórmula do cosseno: \[ \cos(\theta) = \frac{9}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{45}} = \frac{9}{\sqrt{630}} = \frac{9}{3\sqrt{70}} = \frac{3}{\sqrt{70}} \] 5. Calcule o ângulo \( \theta \): \[ \theta = \cos^{-1}\left(\frac{3}{\sqrt{70}}\right) \] Agora, você pode usar uma calculadora para encontrar o valor de \( \theta \) em graus ou radianos.