Para analisar o operador linear \( t(x,y) = (2y, x) \) no espaço vetorial \( \mathbb{R}^2 \) com a base canônica \( e_1 = (1,0) \) e \( e_2 = (0,1) \), vamos calcular a imagem dos vetores da base: 1. Aplicando \( t \) em \( e_1 \): \[ t(e_1) = t(1,0) = (2 \cdot 0, 1) = (0, 1) = e_2 \] 2. Aplicando \( t \) em \( e_2 \): \[ t(e_2) = t(0,1) = (2 \cdot 1, 0) = (2, 0) = 2e_1 \] Agora, podemos observar que \( t(e_1) \) e \( t(e_2) \) são combinações lineares dos vetores da base canônica. Para verificar se \( t \) é um operador linear, precisamos checar duas propriedades: - Aditividade: \( t(u + v) = t(u) + t(v) \) - Homogeneidade: \( t(cu) = ct(u) \) para todo escalar \( c \) Como \( t \) é definido de forma que respeita essas propriedades, podemos concluir que \( t \) é um operador linear. Além disso, os vetores \( e_1 \) e \( e_2 \) são ortogonais, pois o produto interno \( e_1 \cdot e_2 = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0 \). Se precisar de mais detalhes ou de um exemplo específico, é só avisar!