Para verificar se cada função é solução da equação diferencial correspondente, precisamos calcular a derivada (ou derivadas) e substituí-las na equação dada. Vamos analisar cada alternativa: a) \(y(x) = 4e^{-0.6x}\); \(\frac{dy}{dx} = -0.6y\). - Derivando: \(\frac{dy}{dx} = -0.6 \cdot 4e^{-0.6x} = -2.4e^{-0.6x}\). - Substituindo na equação: \(-0.6(4e^{-0.6x}) = -2.4e^{-0.6x}\). Correto. b) \(y(x) = 2 + Ce^{-x^3}\); \(y' + 3x^2y = 6x^2\). - Derivando: \(y' = -3Cx^2e^{-x^3}\). - Substituindo: \(-3Cx^2e^{-x^3} + 3x^2(2 + Ce^{-x^3}) = 6x^2\). Não é solução. c) \(y(x) = C_1e^{3x} + C_2xe^{3x}\); \(y'' - 6y' + 9y = 0\). - Derivando duas vezes e substituindo, você verá que é uma solução da equação. d) \(y(x) = 2 - 3x - x^3\); \(y'' = 6x\). - Derivando duas vezes: \(y'' = -6\), não é solução. e) \(y(x) = x^2 + Cx^{-3}\); \(xy' + 3y = 5x^2\). - Derivando: \(y' = 2x - 3Cx^{-4}\). - Substituindo: \(x(2x - 3Cx^{-4}) + 3(x^2 + Cx^{-3}) = 5x^2\). Não é solução. f) \(C = x^3 + y^4\); \(3x^2dx + 4y^3dy = 0\). - Essa é uma equação diferencial exata, mas não é uma função explícita para verificar. g) \(y(x) = 8 + x - 2x^2 + x^3\); \(\frac{dy}{dx} = 1 - 4x + 3x^2\). - Derivando: \(\frac{dy}{dx} = 1 - 4x + 3x^2\). Correto. h) \(y(x) = C_1e^{2x}\cos(3x) + C_2e^{2x}\sen(3x)\); \(y'' - 4y' + 13y = 0\). - Derivando duas vezes e substituindo, você verá que é uma solução da equação. Resumindo: - Alternativas corretas: a), c), g), h). - Alternativas que não são soluções: b), d), e). Se precisar de mais detalhes sobre alguma alternativa específica, é só avisar!