Para calcular a área sob a cicloide dada pelas equações \( x = t - \sen(t) \) e \( y = 1 - \cos(t) \), podemos usar a fórmula da área em coordenadas paramétricas: \[ A = \int_{a}^{b} y \frac{dx}{dt} dt \] Primeiro, precisamos encontrar \( \frac{dx}{dt} \): \[ \frac{dx}{dt} = 1 - \cos(t) \] Agora, substituímos \( y \) e \( \frac{dx}{dt} \) na fórmula da área: \[ A = \int_{0}^{2\pi} (1 - \cos(t))(1 - \cos(t)) dt \] Simplificando: \[ A = \int_{0}^{2\pi} (1 - 2\cos(t) + \cos^2(t)) dt \] A integral de \( 1 \) de \( 0 \) a \( 2\pi \) é \( 2\pi \), a integral de \( \cos(t) \) é \( 0 \) e a integral de \( \cos^2(t) \) pode ser calculada usando a identidade \( \cos^2(t) = \frac{1 + \cos(2t)}{2} \): \[ \int_{0}^{2\pi} \cos^2(t) dt = \int_{0}^{2\pi} \frac{1 + \cos(2t)}{2} dt = \pi \] Portanto, a área total é: \[ A = 2\pi - 0 + \pi = 3\pi \] Assim, a área da cicloide corresponde a 3π.